ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д19 C7 № 521278 Добавить в вариант

а)  Найдите значение выражения $тангенс 1 градусов умножить на тангенс 2 градусов умножить на тангенс 3 градусов умножить на ... умножить на тангенс 88 градусов умножить на тангенс 89 градусов.$

б)  Докажите, что $тангенс 40 градусов плюс тангенс 55 градусов плюс tg85 градусов= тангенс 40 градусов умножить на тангенс 55 градусов умножить на тангенс 85 градусов.$

в)  Найдите значение выражения $левая круглая скобка 1 плюс тангенс 1 градусов правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 1 плюс тангенс 2 градусов правая круглая скобка умножить на ... умножить на левая круглая скобка 1 плюс тангенс 44 градусов правая круглая скобка .$

Спрятать решение

Решение.

а)  Поскольку $тангенс альфа тангенс левая круглая скобка 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа правая круглая скобка =1,$ разобьем все эти тангенсы, кроме $тангенс 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =1$ на пары, дающие в произведении $1.$ Значит, и все произведение равно $1.$

б)  Имеем:

$тангенс 85 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка = тангенс левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 95 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка = минус тангенс левая круглая скобка 95 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка = минус тангенс левая круглая скобка 40 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс 55 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка = минус дробь: числитель: тангенс 40 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс тангенс 55 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , знаменатель: 1 минус тангенс 40 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка тангенс 55 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби .$ $тангенс 85 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка = тангенс левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 95 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка = минус тангенс левая круглая скобка 95 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= минус тангенс левая круглая скобка 40 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс 55 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка = минус дробь: числитель: тангенс 40 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс тангенс 55 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , знаменатель: 1 минус тангенс 40 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка тангенс 55 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби .$

Требуемое равенство можно переписать в виде:

$тангенс 40 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс тангенс 55 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка = тангенс 85 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка левая круглая скобка тангенс 40 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка тангенс 55 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка .$

Это то же самое.

в)  Имеем:

$1 плюс тангенс альфа = дробь: числитель: синус альфа плюс косинус альфа , знаменатель: косинус альфа конец дроби = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента дробь: числитель: синус альфа синус 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс косинус альфа косинус 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , знаменатель: косинус альфа конец дроби = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента дробь: числитель: косинус левая круглая скобка 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа правая круглая скобка , знаменатель: косинус альфа конец дроби .$ $1 плюс тангенс альфа = дробь: числитель: синус альфа плюс косинус альфа , знаменатель: косинус альфа конец дроби =$
$= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента дробь: числитель: синус альфа синус 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс косинус альфа косинус 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , знаменатель: косинус альфа конец дроби = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента дробь: числитель: косинус левая круглая скобка 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа правая круглая скобка , знаменатель: косинус альфа конец дроби .$

Если проделать это со всеми множителями, в произведении получится $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента в степени левая круглая скобка 44 правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка 22 правая круглая скобка ,$ а еще в числителе и знаменателе будет произведение всех косинусов углов от $1 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ до $44 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ только в разном порядке. Они сократятся и останется $2 в степени левая круглая скобка 22 правая круглая скобка .$

Ответ: а) 1; б) $2 в степени левая круглая скобка 22 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 197

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь