ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 521277 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

$корень из: начало аргумента: 4x минус x в квадрате конец аргумента умножить на логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 2ax плюс a в квадрате правая круглая скобка =0$

имеет ровно три различных корня.

Спрятать решение

Решение.

Первый множитель имеет корни 0 и 4, они будут и корнями уравнения, если подходят в ОДЗ логарифма. Второй множитель можно записать как $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка в квадрате .$ Он определен при всех $x не равно a$ и равен нулю, когда $левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка в квадрате =1,$ $x минус a=\pm 1,$ $x=a\pm 1,$ они будут и корнями уравнения, если подходят в ОДЗ корня $x принадлежит левая квадратная скобка 0;4 правая квадратная скобка .$

Сразу разберем случаи $a=0$ (корни второго множителя $\pm 1,$ только один из них подходит, итого есть два корня) и $a=4$ (корни второго множителя 3 и 5, только один из них подходит, итого есть два корня). Больше про ОДЗ логарифма можно не думать.

Далее разберем случаи, когда $a\pm1=0$ или $a\pm 1=4:$

$a плюс 1=0,$ $a= минус 1,$ $x= минус 2;0;4,$ $минус 2$ не входит в ОДЗ корня;

$a минус 1=0,$ $a=1,$ $x=2;0;4,$ как раз три корня;

$a плюс 1=4,$ $a=3,$ $x=2;0;4,$ как раз три корня;

$a минус 1=4,$ $a=5,$ $x=6;0;4,$ $6$ не входит в ОДЗ корня.

В других ситуация совпадения корней не происходит. Значит, из чисел $a плюс 1,$ $a минус 1$ ровно одно попадает в промежуток $левая круглая скобка 0;4 правая круглая скобка .$ Это бывает при $a принадлежит левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3;4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4;5 правая круглая скобка$ ( $a=0$ и $a=4$ уже разобраны и ответами не являются).

Ответ: $левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 3;4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4;5 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 197

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь