PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
а) При каких значениях x числа 
взятые в указанном порядке, являются последовательными членами арифметической прогрессии?
б) При каких значениях x прогрессия является возрастающей? Найти сумму первых 70 членов прогрессии.
В конус вписан цилиндр так, что нижнее основание цилиндра лежит на основании конуса, а окружность верхнего основания принадлежит боковой поверхности конуса. Объем конуса равен 72.
а) Найти объем цилиндра, верхнее основание которого делит высоту конуса пополам.
б) Найти наибольший объем вписанного цилиндра.
Решите неравенство:
Равнобедренные треугольники АВС (АВ = ВС) и KLM (KM = LM) расположены так, что М — середина АС, В — середина KL, прямая KL параллельна прямой AC. Точки R — точка пересечения KM и АВ, Т — ВС и МL.
а) Доказать, что прямая RT параллельна прямой АС.
б) Найти площадь треугольника АВС, если 
и площадь четырехугольника BTMR равна 24.
На счет, который вкладчик имел в начале первого квартала, начисляется в конце этого квартала 
%, и на тот счет, который вкладчик имел в начале второго квартала начисляется 
%, причем 
Вкладчик положил в начале первого квартала некоторую сумму и снял в конце того же квартала (после начисления процентов) половину положенной суммы. При каком значении счет вкладчика в конце второго квартала окажется максимально возможным?
При каких значениях параметра a, уравнение 
имеет хотя бы одно решение на отрезке 
Натуральное число х имеет остаток 5 при делении на 8 и остаток 41 при делении 
на 64.
а) Найти остаток при делении числа х на 32;
б) Найти сумму таких чисел х, которые принадлежат отрезку [2000, 3000].
тогда: 
Далее, 
после возведения в квадрат дает 
откуда 
Перебирая такие точки на круге и проверяя их в уравнении 
находим: 
или 
получаем числа 0, 0, 0 — не является возрастающей прогрессией. Имеем:
б) 
Объем цилиндра равен: 
Возьмем производную по 
или 
там объем равен нулю). Имеем:
и 
Получим:
поэтому 
и на него можно сократить. Имеем: 
Поскольку 
единственный шанс — взять такое x, чтобы 
Для 
подходит только 
и он заодно подходит и в 
Тогда симметричны друг другу и точки их пересечения, то есть R и 
А Значит, прямая RT перпендикулярна прямой BM, то есть прямая RT параллельна прямой AC.
Тогда и площади треугольников RTM и BTR относятся как 
— у них одно основание RT, а отношение их высот равно 
Значит, 
а треугольник MKL подобен треугольнику MRT с коэффициентом 
поэтому его площадь в 
раз больше. Наконец, у треугольника ABC высота та же, а основание в 
раза меньше, поэтому его площадь равна 
после первого квартала сумма умножилась на p, а после второго квартала — на 
(например, если банк дает 
за первый квартал, 
). Тогда размер его вклада составит: 
Значит, процент за первый квартал равен 
а за второй 
при 
при 
То есть нас интересует, какие значения принимает функция 
на отрезке 
кроме точки 
Запишем ее в виде: 
и выколоть его. Это 
тогда его квадрат равен 
По условию 
кратно 64. Значит, 
кратно 
тогда 
кратно 64, то есть 
кратно 
поэтому остаток от деления x на 
равен 13.
последнее — 
поэтому их там всего 
число и они образуют арифметическую прогрессию. Значит, их сумма равна 