Ре­ше­ние. а)  За­пом­ним, что и воз­ве­дем в квад­рат:

Зна­чит, либо тогда нам под­хо­дит толь­ко по­это­му Либо тогда и это нам под­хо­дит, тогда Деля на по­лу­ча­ем окон­ча­тель­ный ответ:

б)  По­сколь­ку

под­хо­дят толь­ко от­ве­ты

Ответ а) б)

Ре­ше­ние. Будем ре­шать сразу пункт б). Се­че­ние ко­ну­са  — рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник, об­ра­зо­ван­ный двумя об­ра­зу­ю­щи­ми и хор­дой ос­но­ва­ния. Обо­зна­чим концы хорды за A и B, се­ре­ди­ну ее за H, центр ос­но­ва­ния за O, вер­ши­ну ко­ну­са за Пусть тогда:

Далее:

Тогда пло­щадь се­че­ния равна:

Обо­зна­чим По­лу­чим вы­ра­же­ние ко­то­рое мак­си­маль­но, когда мак­си­маль­но под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние то есть при Тогда по­лу­ча­ем

Если то по­до­брать такое x не­воз­мож­но. Для таких ра­ди­у­сов вы­ра­же­ние рас­тет с уве­ли­че­ни­ем t, по­это­му наи­боль­шим оно будет при (то есть для осе­во­го се­че­ния). Для него по­лу­чим ответ

Ответ б) При пло­щадь при пло­щадь В част­но­сти для п.а ответ При та­ко­го ко­ну­са не су­ще­ству­ет.

Ре­ше­ние. От­ме­тим сразу, что Пер­вые два усло­вия дают тре­тье за­пре­ща­ет чет­вер­тое вы­пол­не­но все­гда, пятое за­пре­ща­ет точки Из них на про­ме­жут­ке лежат:

При не­ра­вен­ство об­ра­ща­ет­ся в ра­вен­ство. При про­чих x мно­жи­тель не вли­я­ет на знак и его можно со­кра­тить. Пе­рей­дем в ло­га­риф­ме к но­во­му ос­но­ва­нию и ра­ци­о­на­ли­зи­ру­ем не­ра­вен­ство:

По­сколь­ку при всех до­пу­сти­мых x, этот мно­жи­тель тоже не нужен:

Таким об­ра­зом,

Учи­ты­вая огра­ни­че­ния и один ответ, по­лу­чен­ный ранее, имеем:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Имеем:

по­это­му суммы углов и равны По­это­му че­ты­рех­уголь­ни­ки впи­сан­ные. В се­ре­ди­не це­поч­ки ис­поль­зо­ва­но ра­вен­ство пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков QAD и PBA (равны по двум ка­те­там и пря­мо­му углу).

б)  В этих окруж­но­стях BQ и PQ яв­ля­ют­ся диа­мет­ра­ми (на них опи­ра­ют­ся пря­мые углы), по­это­му цен­тры  — се­ре­ди­ны этих от­рез­ков, а рас­сто­я­ние между ними  — длина сред­ней линии тре­уголь­ни­ка Она равна:

Ответ:

Ре­ше­ние. Ясно, что осва­и­вать новую про­дук­цию имеет смысл ровно до тех пор, пока доход от нее пре­вы­ща­ет рас­ход на осво­е­ние. С пер­во­го вида про­дук­ции будет по­лу­че­но мил­ли­о­нов до­пол­ни­тель­ной при­бы­ли в год, а с каж­до­го сле­ду­ю­ще­го на 7 мил­ли­о­нов мень­ше. Зна­чит, мак­си­маль­ная при­быль со­ста­вит:

Ответ: 279 млн. руб. в год

Ре­ше­ние. Сде­ла­ем за­ме­ну За­ме­тим сразу, что по­это­му

и При всех таких t долж­но вы­пол­нять­ся не­ра­вен­ство

Гра­фик функ­ции   — па­ра­бо­ла, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх, по­это­му ее наи­мень­шее зна­че­ние на мно­же­стве до­сти­га­ет­ся либо в точке либо в точке 2, либо в вер­ши­не (при если абс­цис­са вер­ши­ны лежит в мно­же­стве ), либо, на­ко­нец, не до­сти­га­ет­ся, по­то­му что функ­ция воз­рас­та­ет на всем нашем мно­же­стве и могла бы иметь наи­мень­шее зна­че­ние при но эта точка вы­ко­ло­та.

Зна­чит, во всех этих по­до­зри­тель­ных точ­ках не­ра­вен­ство долж­но вы­пол­нять­ся. Этого будет до­ста­точ­но (в одной из них наи­мень­шее зна­че­ние, если уж оно по­ло­жи­тель­но, то и все по­ло­жи­тель­ны) и не­об­хо­ди­мо (если в одной из них не­ра­вен­ство на­ру­ше­но, то такое a не под­хо­дит из-за этой точки). Имеем:

Од­на­ко это усло­вие при­ме­ня­ет­ся толь­ко к тем a, для ко­то­рых то есть к Со­от­вет­ствен­но, оно лишь за­пре­ща­ет про­ме­жу­ток ко­то­рый и так за­пре­щен пер­вым усло­ви­ем.

Здесь не­стро­гое не­ра­вен­ство, по­сколь­ку брать саму точку все равно нель­зя. Но если зна­че­ния по­это­му не­ра­вен­ство на­пи­сать нужно. Окон­ча­тель­но:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть общее число квар­тир равно N, тогда число при­ва­ти­зи­ро­ван­ных на­хо­дит­ся в пре­де­лах и а число не­при­ва­ти­зи­ро­ван­ных  — в пре­де­лах от до Оно долж­но быть целым. Оста­лось по­до­брать такое N, чтобы между этими чис­ла­ми было за­жа­то какое-либо целое число. Обо­зна­чим его Тогда

При имеем

При имеем

При имеем и по­это­му целое K не под­би­ра­ет­ся.

При имеем и по­это­му целое K не под­би­ра­ет­ся.

При имеем

По­это­му ми­ни­маль­ное число квар­тир из них при­ва­ти­зи­ро­ва­ны

Ответ: 46.