а) Решим уравнение:

б) Поскольку , отрезку принадлежит только число 2.

Ответ: а); б) 2.

а) Проведем (см. рис. 1), тогда — проекция на плоскость Полученная проекция перпендикулярна прямой BM (*), поэтому в силу теоремы о трёх перпендикулярах, прямые и взаимно перпендикулярны.

Докажем (*). Заметим (см. рис. 2), что треугольники и равны. Повернём на угол по часовой стрелке и совместим точку с точкой . Сторона совместится со стороной , а сторона — со стороной . Поскольку после поворота на стороны и совместились, до поворота угол между ними был равен .

б) Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между их проекциями на плоскость, перпендикулярную одной из них. Заметим, что и (из п. а), следовательно, , а тогда K — проекция MB на плоскость Проекцией прямой на плоскость является сама прямая Осталось найти расстояние от K до .

В треугольнике MAB находим Тогда в треугольнике HKB имеем: Треугольники и подобны (см. рис. 3), поэтому откуда

Ответ:

Докажем (*), не используя поворот и сдвиг.

В силу равенства треугольников MAB и углы MBA и равны. Поэтому сумма острых углов треугольника HKB равна сумме острых углов прямоугольного треугольника равны. Следовательно, треугольник HKB также прямоугольный.

Логарифмируем обе части, используем свойства логарифма, получаем квадратное неравенство:

Замечаем, что один из корней уравнения, соответствующего полученному неравенству, равен 1; второй корень находим по теореме, обратной теореме Виета; затем применяем метод интервалов:

Ответ:

Приведем другое решение.

Разделим обе части неравенства на 3, вынесем в показателе степени множитель (х − 1) за скобку и применим теорему о знаке степени:

Найдем корень первой скобки:

Далее наносим корни на ось и определяем знаки произведения.

Приведём решение, не связанное с логарифмированием.

В силу основного логарифмического тождества откуда получаем:

Далее как ранее.

Найдём косинусы углов ABC и ADC в треугольниках и соответственно:

поэтому ABC  = 120°.

Далее,

 

поэтому ADC  = 60°.

Тем самым, сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, поэтому вокруг него можно описать окружность.

Для вписаного четырёхугольника справедлива теорема Птолемея: произведение диагоналей четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон. Тогда то есть откуда .

Ответ: б) .

Составим таблицу изменения среднемесячного дохода на душу населения по данным задачи.

	2014	2015	2016	2017
Регион А	43740	43740 · 1,25	43740 · 1,252	43740 · 1,253
Регион В	60 000	60 000 · 1,17	60 000 · 1,172	60 000 · 1,173
Регион В с учётом населения

По условию откуда

Следовательно, откуда Тем самым, население региона B росло на 4% в год.

Ответ: 4%.

Заметим, что вместе с каждым решением система имеет также решения Поскольку решений должно быть два, полученные пары должны совпадать.

1. Если то Тогда откуда

Проверка показывает, что при система имеет два решения. При получаем Эта система имеет только одно решение.

2. Если то Тогда этот случай исследован выше.

3. Если то Тогда: откуда

Проверка показывает, что при система имеет два решения.

4. Если то — см. случай 3.

5. Если то — см. случай 2.

6. Если то — см. случай 1.

Приведем другое решение:

При a = 0 первое уравнение описывает точку (0; 0), а второе оси координат и, значит, система имеет единственное решение.

Дальше будем считать, что В этом случае, первое уравнение описывает окружность с центром в (0; 0) и радиусом a. При a = 3, второе уравнение снова описывает оси координат и, значит, система имеет четыре решения. При второе уравнение может быть преобразовано в уравнение так как в этом случае, ни x, ни y в ноль не обращаются. Это уравнение гиперболы.

Заметим, теперь, что обе кривые описываемые уравнениями системы симметричны относительно начала координат, значит, два решения система будет иметь только в случае касания окружности и гиперболы. Рассмотрим уравнение описывающее точки их пересечения

Сделаем замену тогда, в случае касания, уравнение должно иметь единственный положительный корень. Заметим, что если оно имеет корни, то это, либо два корня одного знака, либо один корень. Значит, нас интересует случай, когда его дискриминант равен нулю и единственный корень при этом положительный.

Проверка показывает, что при a = 2 и a = 6 уравнение имеет положительный корень, a = 0 не подходит.

Ответ:

а) Поскольку число лежит в отрезке длина которого равна Следовательно, расстояние от до какого-то из концов отрезка не больше половины его длины. Поэтому числа m и n суть числа 28 и 20 или числа 71 и 50 соответственно. Тем самым, искомые числа существуют.

Примечание.

Заметим, что лежит правее точки 1,41 — середины отрезка Поэтому, Следовательно, числа 71 и 50 являются искомым примером.

Приведем другое решение пункта а).

а) Заметим, что из неравенства следует, что

а значит, откуда

Пусть, например, тогда Следовательно, двузначные числа и удовлетворяют исходному неравенству.

б) Докажем, что таких m и n не существует. Доказательство проведём от противного. Пусть существуют двузначные числа m и n, для которых выполняется неравенство Тогда

Так как по условию , из последнего неравенства получаем

откуда Следовательно, Противоречие.

Приведем другое решение пункта б).

Умножим обе части неравенства на получим

Так как по условию , из последнего неравенства получаем

откуда Следовательно, Противоречие.

в) С увеличением n значение выражения уменьшается. Так как при значение выражения больше , при — меньше и значение равно расстоянию от до наименьшее значение это выражение принимает при или

При получаем:

а при получаем

Сравнивая эти значения, видим, что наименьшее значение выражение принимает при

Приведем решение Евгения Обухова (Москва)

а) Нас спрашивают про хорошее приближение числа рациональной дробью, состоящей из двузначных чисел. Искать его следует среди подходящих дробей. Хорошо известно (и легко выводится) представление числа в виде бесконечной цепной дроби:

Найдём момент, когда подходящая дробь состоит из двузначных чисел:

Такого приближения, конечно, хватит в виду известной теоремы (подходящие дроби "хорошо приближают":):

(В принципе, требуемое неравенство легко проверяется и непосредственно, поскольку для корня из двух первые две цифры после запятой хорошо известны: , а то, что проверяется делением в столбик за несколько секунд.)

в) Требуется минимизировать выражение . Снова рассматриваем разложение приближаемого числа в цепную дробь (которое легко получается из приведённого ранее разложения переносом единицы из правой части в левую):

Заметим, что уже одна из первых подходящих дробей нас вполне устраивает:

Имеем: , это как раз нужный нам числитель. А т.к. подходящие дроби в принципе приближают очень хорошо, то можно надеяться, что нужное нам найдено (). И это действительно, очевидно, так:

То есть дробь находится весьма близко к числу . И ясно, что оставшиеся наиболее близкие дроби (из доступных нам, с числителем ): и находятся от числа дальше.

(В частности, это можно проверить непосредственно: , и т.к. , то дробь выпадет из окрестности , в которой дробь , в свою очередь, находится. Аналогично с дробью , там соответствующая разность , очевидно, ещё больше.)

б) Предположим, что такие и существует. Тогда с помощью формулы разности квадратов преобразуем данное в условии неравенство в привычный нам вид:

То есть дробь обязана быть очень близкой к , поэтому оценку можно легко улучшить вдвое:

(Т.к., напомним, .)

Последнее неравенство означает, что дробь — подходящая дробь числа (по теореме о том, что из неравенства следует, что несократимая дробь является подходящей дробью числа ).

Т. к. подходящая дробь с большим номером приближает лучше, чем подходящая дробь с меньшим номером, то в нашем случае (числитель и знаменатель — двузначные числа) лучше всего приближает дробь:

Осталось убедиться, что неравенство не выполняется, что приводит к противоречию. Это легко делается на "калькуляторе".

Можно, впрочем, обойтись и без "калькулятора". Приблизим корень из двух более хорошей подходящей дробью. Скажем, дроби хватит, т.к. . Вычисления в столбик довольно быстро дают нам десятичные представления: , , то есть довольно значимое различие на как раз пятом знаке после запятой (). Имеем (с помощью неравенства треугольника):

Что и требовалось для получения противоречия.