PDF-версии: 1. Тип 13 № 519658 
Классификатор алгебры: Уравнения высших степеней
Методы алгебры: Группировка
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.3 Иррациональные уравнения
Уравнения. Иррациональные уравнения
i
а) Решите уравнение 
б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 
Решение. а) Решим уравнение:
б) Поскольку 
отрезку 
принадлежит только число 2.
Ответ: а)
б) 2.
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б) 2.
б) 2.519658
а) б) 2.
б) 2.Классификатор алгебры: Уравнения высших степеней
Методы алгебры: Группировка
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.3 Иррациональные уравнения
(см. рис. 1), тогда 
— проекция 
на плоскость 
Полученная проекция перпендикулярна прямой BM (*), поэтому в силу теоремы о трёх перпендикулярах прямые 
по часовой стрелке и совместим точку B с точкой A. Сторона AM совместится со стороной HB, а сторона AB — со стороной 
Поскольку после поворота на 
и 
(из п. а), следовательно, 
а тогда K — проекция MB на плоскость 
Проекцией прямой 
на плоскость 
является сама прямая 
Осталось найти расстояние от K до 
Тогда в треугольнике HKB имеем: 
Треугольники 
подобны (см. рис. 3), поэтому 
Следовательно, треугольник HKB также прямоугольный.
:
откуда получаем: 
поскольку 
Пусть 
тогда в треугольнике BAD по теореме косинусов
откуда 
откуда 
Таким образом, население региона B росло на 4% в год.
система имеет также решения 
Поскольку решений должно быть два, полученные пары должны совпадать.
то 
Тогда 
откуда
система 
имеет два решения. При 
получаем 
Эта система имеет только одно решение.
то 
Тогда 
то 
Тогда: 
откуда 
система 
имеет два решения.
то 
— см. случай 3.
то 
— см. случай 2.
то 
— см. случай 1.
и, значит, система имеет единственное решение. 
В этом случае, первое уравнение описывает окружность с центром в (0; 0) и радиусом |a|. При a = 3 второе уравнение снова описывает оси координат 
второе уравнение может быть преобразовано в уравнение 
поскольку в этом случае ни x, ни y в ноль не обращаются. Это уравнение гиперболы. 
тогда, в случае касания, уравнение 
должно иметь единственный положительный корень. Заметим, что если оно имеет корни, то это либо два корня одного знака, либо один корень. Значит, нас интересует случай, когда его дискриминант равен нулю и единственный корень при этом положительный. 
будет наименьшим.
длина которого равна 
Следовательно, расстояние от 
Тогда 
поэтому из последнего неравенства получаем
Следовательно, 
Противоречие.
уменьшается. Поскольку при 
значение выражения 
—
равно расстоянию от 
Поэтому 
Следовательно, примером являются числа 71 и 50.
равносильно двойному неравенству 
Пусть, например, 
тогда 
Следовательно, двузначные числа 
и 
удовлетворяют исходному неравенству.
обязана быть очень близкой 
Последнее неравенство означает, что дробь 
следует, что несократимая дробь 
является подходящей дробью числа α. Подходящая дробь с большим номером приближает лучше, чем подходящая дробь с меньшим номером, поэтому в нашем случае (числитель и знаменатель — двузначные числа) лучше всего приближает дробь:
не выполняется, что приводит к противоречию. 
хватит, поскольку
Из неравенства треугольника:
Вновь рассмотрим разложение приближаемого числа в цепную дробь:
это как раз нужный нам числитель. Заметим, что
и 
—
и поскольку 
то дробь 
в которой дробь 
в свою очередь, находится. Аналогично с дробью 
соответствующая разность 
ещё больше.