а) Решим уравнение:

б) Поскольку , отрезку принадлежит только число 2.

Ответ: а); б) 2.

а) Проведем (см. рис. 1), тогда — проекция на плоскость . Полученная проекция перпендикулярна прямой BM (*), поэтому в силу теоремы о трёх перпендикулярах, прямые и взаимно перпендикулярны.

Докажем (*). Заметим (см. рис. 12), что треугольники и равны. Повернём на угол по часовой стрелке и совместим точку с точкой . Сторона совместится со стороной , а сторона — со стороной . Поскольку после поворота на стороны и совместились, до поворота угол между ними был равен .

б) Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между их проекциями на плоскость, перпендикулярную одной из них. Заметим, что и (из п. а), следовательно, , а тогда K — проекция MB на плоскость Проекцией прямой на плоскость является сама прямая Осталось найти расстояние от K до .

В треугольнике MAB находим Тогда в треугольнике HKB имеем: Треугольники и подобны (см. рис. 3), поэтому откуда

Ответ:

Докажем (*), не используя поворот и сдвиг.

В силу равенства треугольников MAB и углы MBA и равны. Поэтому сумма острых углов треугольника HKB равна сумме острых углов прямоугольного треугольника равны. Следовательно, треугольник MAB также прямоугольный.

Логарифмируем обе части, используем свойства логарифма, получаем квадратное уравнение. Замечаем, что один из его корней равен 1, второй корень находим по теореме, обратной теореме Виета, применяем метод интервалов:

Далее наносим корни на ось и определяем знаки произведения:

Ответ:

Приведем другое решение.

Разделим обе части неравенства на 3, вынесем в показателе степени множитель (х − 1) за скобку и применим теорему о знаке степени:

Найдем корень первой скобки:

Далее наносим корни на ось и определяем знаки произведения.

Найдём косинусы углов ABC и ADC в треугольниках и соответственно:

поэтому ABC  = 120°.

Далее,

 

поэтому ADC  = 60°.

Тем самым, сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, поэтому вокруг него можно описать окружность.

Для вписаного четырёхугольника справедлива теорема Птолемея: произведение диагоналей четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон. Тогда то есть откуда .

Ответ: б) .

Составим таблицу изменения среднемесячного дохода на душу населения по данным задачи.

	2014	2015	2016	2017
Регион А	43740	43740 · 1,25	43740 · 1,252	43740 · 1,253
Регион В	60 000	60 000 · 1,17	60 000 · 1,172	60 000 · 1,173
Регион В с учётом населения

По условию откуда

Следовательно, откуда Тем самым, население региона B росло на 4% в год.

Ответ: 4%.

Заметим, что вместе с каждым решением система имеет также решения Поскольку решений должно быть два, полученные пары должны совпадать.

1. Если то Тогда откуда

Проверка показывает, что при система имеет два решения. При получаем Эта система имеет только одно решение.

2. Если то Тогда этот случай исследован выше.

3. Если то Тогда: откуда

Проверка показывает, что при система имеет два решения.

4. Если то — см. случай 3.

5. Если то — см. случай 2.

6. Если то — см. случай 1.

Приведем другое решение:

При a = 0 первое уравнение описывает точку (0; 0), а второе оси координат и, значит, система имеет единственное решение.

Дальше будем считать, что В этом случае, первое уравнение описывает окружность с центром в (0; 0) и радиусом a. При a = 3, второе уравнение снова описывает оси координат и, значит, система имеет четыре решения. При второе уравнение может быть преобразовано в уравнение так как в этом случае, ни x, ни y в ноль не обращаются. Это уравнение гиперболы.

Заметим, теперь, что обе кривые описываемые уравнениями системы симметричны относительно начала координат, значит, два решения система будет иметь только в случае касания окружности и гиперболы. Рассмотрим уравнение описывающее точки их пересечения

Сделаем замену тогда, в случае касания, уравнение должно иметь единственный положительный корень. Заметим, что если оно имеет корни, то это, либо два корня одного знака, либо один корень. Значит, нас интересует случай, когда его дискриминант равен нулю и единственный корень при этом положительный.

Проверка показывает, что при a = 2 и a = 6 уравнение имеет положительный корень, a = 0 не подходит.

Ответ:

а) Поскольку число лежит в отрезке длина которого равна Следовательно, расстояние от до какого-то из концов отрезка не больше половины его длины. Поэтому числа m и n суть числа 28 и 20 или числа 71 и 50 соответственно. Тем самым, искомые числа существуют.

Примечание.

Заметим, что лежит правее точки 1,41 — середины отрезка Поэтому, Следовательно, числа 71 и 50 являются искомым примером.

Приведем другое решение пункта а).

а) Заметим, что из неравенства следует, что

а значит, откуда

Пусть, например, тогда Следовательно, двузначные числа и удовлетворяют исходному неравенству.

б) Докажем, что таких m и n не существует. Доказательство проведём от противного. Пусть существуют двузначные числа m и n, для которых выполняется неравенство Тогда

Так как по условию , из последнего неравенства получаем

откуда Следовательно, Противоречие.

в) С увеличением n значение выражения уменьшается. Так как при значение выражения больше , при — меньше и значение равно расстоянию от до наименьшее значение это выражение принимает при или

При получаем:

а при получаем

Сравнивая эти значения, видим, что наименьшее значение выражение принимает при