Ре­ше­ние. Пе­ре­ве­дем футы в метры: 1 фут = 30,5 см = 0,305 м. Тогда 35 000 футов = 0,305·35 000 м = 10 675 м.

Ответ: 10 675.

Ре­ше­ние. Из гра­фи­ка видно, что 16 ок­тяб­ря наи­боль­шая тем­пе­ра­ту­ра со­став­ля­ла 9 °C, а наи­мень­шая 2 °C. Их раз­ность со­став­ля­ет 7 °C.

Ответ: 7.

Ре­ше­ние. Ко­ор­ди­на­ты век­то­ра равны раз­но­сти ко­ор­ди­нат конца век­то­ра и его на­ча­ла. По­это­му век­тор имеет ко­ор­ди­на­ты век­тор имеет ко­ор­ди­на­ты Ко­ор­ди­на­ты суммы век­то­ров равны сумме со­от­вет­ству­ю­щих ко­ор­ди­нат. По­это­му век­тор имеет ко­ор­ди­на­ты Cумма его ко­ор­ди­нат равна 20.

Ответ: 20.

Ре­ше­ние. Джон про­мах­нет­ся, если схва­тит при­стре­лян­ный ре­воль­вер и про­мах­нет­ся из него, или если схва­тит не­при­стре­лян­ный ре­воль­вер и про­мах­нет­ся из него. По фор­му­ле услов­ной ве­ро­ят­но­сти, ве­ро­ят­но­сти этих со­бы­тий равны со­от­вет­ствен­но 0,2·(1 − 0,8)  =  0,04 и 0,8·(1 − 0,2)  =  0,64. Со­бы­тия схва­тить при­стре­лян­ный или не­при­стре­лян­ный ре­воль­вер об­ра­зу­ют пол­ную груп­пу (они не­сов­мест­ны и одно из них не­пре­мен­но на­сту­па­ет), по­это­му, по фор­му­ле пол­ной ве­ро­ят­но­сти, Джон про­мах­нет­ся с ве­ро­ят­но­стью 0,04 + 0,64  =  0,68.

Ответ: 0,68.

Ре­ше­ние. Ло­га­риф­мы двух вы­ра­же­ний равны, если сами вы­ра­же­ния равны и при этом по­ло­жи­тель­ны:

Ответ: 20.

Ре­ше­ние. Имеем:

Ответ: 0,28.

Ре­ше­ние. Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, ко­то­рый в свою оче­редь равен тан­ген­су угла на­кло­на дан­ной ка­са­тель­ной к оси абс­цисс. По­стро­им тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми в точ­ках A (0; −7), B (0; −1), C (−3; −1). Угол на­кло­на ка­са­тель­ной к оси абс­цисс будет равен углу, смеж­но­му с углом ACB. По­это­му

Ответ: −2.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: −34.

Ре­ше­ние. Най­дем ско­рость груза через 2 се­кун­ды после на­ча­ла ко­ле­ба­ний:

Най­дем ки­не­ти­че­скую энер­гию груза через 2 се­кун­ды после на­ча­ла ко­ле­ба­ний:

Ответ: 0,16

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим n − число де­та­лей, ко­то­рые из­го­тав­ли­ва­ет за час пер­вый ра­бо­чий, тогда вто­рой ра­бо­чий за час из­го­тав­ли­ва­ет де­та­лей, На из­го­тов­ле­ние 391 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий тра­тит на 6 часов мень­ше, чем вто­рой ра­бо­чий на из­го­тов­ле­ние 460 таких же де­та­лей, от­сю­да имеем:

Таким об­ра­зом, пер­вый ра­бо­чий де­ла­ет 23 де­та­лей в час

Ответ: 23.

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма

Ответ: −7.

Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ное урав­не­ние:

б)  С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку По­лу­чим числа:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Че­ты­рех­уголь­ник ABC₁D₁  — па­рал­ле­ло­грамм (даже пря­мо­уголь­ник), по­это­му пря­мая AC₁ пе­ре­се­ка­ет плос­кость BED₁ в точке O, се­ре­ди­не от­рез­ка BD₁. Пусть точки H_A и H_C  — про­ек­ции, со­от­вет­ствен­но, точек A и C₁ на плос­кость BED₁. Тогда тре­уголь­ни­ки H_AAO и H_CC₁O равны по ги­по­те­ну­зе и остро­му углу, зна­чит, Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пря­мая D₁E пе­ре­се­ка­ет пря­мую АD в точке K. Плос­ко­сти ABC и BED₁ пе­ре­се­ка­ют­ся по пря­мой KB.

Из точки E опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр EH на пря­мую KB, тогда от­ре­зок AH (про­ек­ция EH) пер­пен­ди­ку­ля­рен пря­мой KB. Угол AHE яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла, об­ра­зо­ван­но­го плос­ко­стя­ми ABC и BED₁.

По­сколь­ку по­лу­ча­ем:

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков A₁D₁E и AKE на­хо­дим:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AKB с пря­мым углом A:

от­ку­да вы­со­та

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AHE с пря­мым углом A по­лу­ча­ем:

Ответ: б)  Ответ может быть дан в дру­гой форме: или

При­ве­дем век­тор­ное ре­ше­ние пунк­та б) Дмит­рия Кузь­ми­на (Москва).

Вве­дем си­сте­му ко­ор­ди­нат с на­ча­лом в точке B, оси на­пра­вим вдоль ребер па­рал­ле­ле­пи­пе­да так, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. В этой си­сте­ме ко­ор­ди­нат:

Нор­ма­лью к плос­ко­сти ABC яв­ля­ет­ся век­тор Плос­кость BED₁ про­хо­дит через на­ча­ло ко­ор­ди­нат, а по­то­му ее урав­не­ние имеет вид Имеем:

Удоб­но взять тогда и а нор­маль к плос­ко­сти

Най­дем угол между нор­ма­ля­ми:

Таким об­ра­зом, угол между плос­ко­стя­ми ABC и BED₁ равен

Ре­ше­ние. Сде­ла­ем за­ме­ну

Воз­вра­ща­ясь к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­чим: или

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть CH  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка, r  — ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной тре­уголь­ник ABC, Q  — центр этой окруж­но­сти. Так как, то Сле­до­ва­тель­но, по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC равен а его пло­щадь от­ку­да

Пусть Тогда

Пусть окруж­ность с цен­тром O ка­са­ет­ся дан­ных па­рал­лель­ных пря­мых и бо­ко­вой сто­ро­ны AC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, при­чем пря­мой AB  — в точке M , и не имеет общих точек с бо­ко­вой сто­ро­ной BC (рис. 1). Не­труд­но по­нять, что ра­ди­ус этой окруж­но­сти равен 3.

Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на его бис­сек­три­се, по­это­му AO  — бис­сек­три­са угла Тогда

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка OAQ на­хо­дим, что

Пусть те­перь окруж­ность с цен­тром O ка­са­ет­ся дан­ных па­рал­лель­ных пря­мых и бо­ко­вой cто­ро­ны AC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, при­чем пря­мой AB  — в точке M, и пе­ре­се­ка­ет бо­ко­вую сто­ро­ну BC(рис. 2).

Тогда точки O и Q лежат на бис­сек­три­се угла Тре­уголь­ник AOM по­до­бен тре­уголь­ни­ку AQHс ко­эф­фи­ци­ен­том по­это­му

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: или

Ре­ше­ние. Ариф­ме­ти­че­ский под­ход к ре­ше­нию.

1.  3600 · 1,485  =  5346 тыс. руб.  — раз­мер вкла­да к концу тре­тье­го года хра­не­ния.

2.  3600 · 1,1 · 1,1 · 1,1  =  4791,6 тыс. руб.  — раз­мер вкла­да к концу тре­тье­го года хра­не­ния, за­ви­ся­ще­го от пер­во­на­чаль­но вне­сен­ной суммы.

3.  5346 − 4791,6  =  554,4 тыс. руб. со­став­ля­ют еже­год­ные до­пол­ни­тель­но вне­сен­ные вкла­ды, вклю­чая на­чис­лен­ные про­цент­ные над­бав­ки.

4.  Пусть одну часть из суммы 554,4 тыс. руб. со­став­ля­ет до­пол­ни­тель­но вне­сен­ная сумма в тре­тий год хра­не­ния вкла­да вме­сте с про­цент­ной над­бав­кой, на­чис­лен­ной на ту же сумму. Тогда 1,1 часть со­ста­вит раз­мер до­пол­ни­тель­но вне­сен­ной суммы во вто­рой год хра­не­ния вкла­да с уче­том про­цент­ной над­бав­ки, на­чис­лен­ной два­жды (два года под­ряд).

5.  Всего 1+1,1 = 2,1 (части).

6.  554,4 : 2.1  =  264 тыс. руб.  — доля одной части от 554, 4 т. р. вме­сте с еже­год­ной про­цент­ной над­бав­кой.

7.  264 : 1,1  =  240 тыс. руб.  — сумма, еже­год­но до­бав­лен­ная к вкла­ду.

Ал­геб­ра­и­че­ский под­ход к ре­ше­нию.

Пусть Вла­ди­мир еже­год­но вно­сил на счет x тыс. руб.

К концу пер­во­го года хра­не­ния раз­мер вкла­да стал 3600 · 1,1  =  3960 тыс. руб.

Вла­ди­мир до­пол­ни­тель­но внес x р. Раз­мер вкла­да стал 3960 + x тыс. руб.

К концу вто­ро­го года хра­не­ния раз­мер вкла­да стал (3960 + x) · 1,1  =  4356 + 1,1x тыс. руб.

Вла­ди­мир вновь сде­лал до­пол­ни­тель­ный взнос x тыс. руб.

Раз­мер вкла­да стал 4356 + 1,1x + x  =  4356 + 2,1x тыс. руб.

К концу года были на­чис­ле­ны про­цен­ты на сумму 4356 + 2,1x тыс. руб.

Раз­мер вкла­да стал (4356 + 2,1x) · 1,1  =  4791,6 + 2,31x тыс. руб., ко­то­рый равен 3600 · 1,485 =5346 тыс. руб.

Таким об­ра­зом, со­ста­вим и решим урав­не­ние: 4791,6 + 2,31x  =  5346 ⇔ 2,31x  =  554,4 ⇔ x  =  240.

Ответ: 240 тыс. руб­лей.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим функ­ции и Ис­сле­ду­ем урав­не­ние

На про­ме­жут­ке функ­ция воз­рас­та­ет. Функ­ция убы­ва­ет на этом про­ме­жут­ке, по­это­му урав­не­ние имеет не более од­но­го ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при­чем ре­ше­ние будет су­ще­ство­вать тогда и толь­ко тогда, когда, то есть при

При урав­не­ние при­ни­ма­ет вид При левая часть этого урав­не­ния от­ри­ца­тель­на, сле­до­ва­тель­но, ре­ше­ний нет. При это урав­не­ние сво­дит­ся к квад­рат­но­му урав­не­нию дис­кри­ми­нант ко­то­ро­го по­это­му при это урав­не­ние не имеет кор­ней; при урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень при урав­не­ние имеет два корня.

Пусть урав­не­ние имеет два корня,

Тогда мень­ший ко­рень все­гда мень­ше а боль­ший ко­рень не пре­вос­хо­дит если то есть при

По тео­ре­ме Виета:

по­это­му знаки кор­ней и за­ви­сят от зна­ков вы­ра­же­ний и Зна­чит, при оба корня от­ри­ца­тель­ны, при один из кор­ней от­ри­ца­тель­ный, а дру­гой не­от­ри­ца­тель­ный, при оба корня не­от­ри­ца­тель­ны.

Таким об­ра­зом, при урав­не­ние не имеет кор­ней при и имеет один ко­рень при и имеет два корня при

Таким об­ра­зом, урав­не­ние имеет сле­ду­ю­щее ко­ли­че­ство кор­ней:

  — нет кор­ней при

  — один ко­рень при и

  — два корня при и

  — три корня при

Ответ:

Ре­ше­ние. Имеем: где   — число цифр в числе За­пи­шем по­след­нее ра­вен­ство сле­ду­ю­щим об­ра­зом оче­вид­но,

Если то

Тогда По­лу­ча­ем ра­вен­ство

Зна­чит может быть равно толь­ко 1 или 2, от­ку­да Со­от­вет­ствен­но,

Ответ: 23 и 9, 12 и 8.