Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д11 C4 № 485970

Расстояние между параллельными прямыми равно 6. На одной из них лежит вершина C, на другой — основание AB равнобедренного треугольника ABC. Известно, что AB = 16. Найдите расстояние между центрами окружностей, одна из которых вписана в треугольник ABC, а вторая касается данных параллельных прямых и боковой стороны треугольника ABC.

Решение.

Пусть CH — высота треугольника, r — радиус окружности, вписанной треугольник ABC, Q — центр этой окружности. Так как, CH=6,AH=8, то AC=\text{1}0. Следовательно, полупериметр треугольника ABC равен p=\text{18 }, а его площадь S=\text{48}, откуда r= дробь, числитель — S, знаменатель — p = дробь, числитель — 8, знаменатель — 3 .

Пусть \angle QAH= \alpha. Тогда \text{tg}\alpha = дробь, числитель — QH, знаменатель — AH = дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 , \text{cos}\alpha = дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из { 1 плюс \text{tg в степени 2 \alpha }}= дробь, числитель — 3, знаменатель — корень из { 10 },AQ= дробь, числитель — AH, знаменатель — косинус \alpha = дробь, числитель — 8, знаменатель — 3 корень из { 10}.

Пусть окружность с центром O касается данных параллельных прямых и боковой стороны AC равнобедренного треугольника ABC, причем прямой AB — в точке M , и не имеет общих точек с боковой стороной BC (рис. 1). Нетрудно понять, что радиус этой окружности равен 3.

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому AO — биссектриса угла MAC. Тогда

\angle OAQ= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 (\angle CAB плюс \angle CAM)=90 в степени \circ ,

\angle OAM=90 в степени \circ минус \angle QAH=90 в степени \circ минус \alpha,\angle AOM=\alpha ,

AO= дробь, числитель — OM, знаменатель — косинус \alpha = корень из { 10}.

Из прямоугольного треугольника OAQ находим, что

OQ= корень из { AQ в степени 2 плюс AO в степени 2 }= корень из { дробь, числитель — 640, знаменатель — 9 плюс 10}= дробь, числитель — корень из { 730}, знаменатель — 3 .

Пусть теперь окружность с центром O касается данных параллельных прямых и боковой cтороны AC равнобедренного треугольника ABC, причем прямой AB — в точке M, и пересекает боковую сторону BC(рис. 2).

Тогда точки O и Q лежат на биссектрисе угла BAC. Треугольник AOM подобен треугольнику AQHс коэффициентом  дробь, числитель — OM, знаменатель — QH =3: дробь, числитель — 8, знаменатель — 3 = дробь, числитель — 9, знаменатель — 8 , поэтому

AO= дробь, числитель — 9, знаменатель — 8 AQ= дробь, числитель — 9, знаменатель — 8 умножить на дробь, числитель — 8, знаменатель — 3 корень из { 10}=3 корень из { 10}.

Следовательно,

OQ=AO минус AQ=3 корень из { 10} минус дробь, числитель — 8, знаменатель — 3 корень из { 10}= дробь, числитель — корень из { 10}, знаменатель — 3

.

 

Ответ:  дробь, числитель — корень из { 730}, знаменатель — 3 или  дробь, числитель — корень из { 10}, знаменатель — 3 .


Аналоги к заданию № 501438: 485970 501458 Все

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники