Ре­ше­ние. а)  Решим урав­не­ние:

б)  Среди пред­став­лен­ных кор­ней от­бе­рем те, ко­то­рые при­над­ле­жат от­рез­ку

Это числа

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Вве­дем ко­ор­ди­на­ты с на­ча­лом в точке A и осями, на­прав­лен­ны­ми по AB, по пря­мой, па­рал­лель­ной OM и по пря­мой, па­рал­лель­ной OS. Тогда ко­ор­ди­на­ты точек будут та­ки­ми где a  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Най­дем ее: от­ку­да

Зна­чит, и Зна­чит, их ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние равно по­это­му

б)  Пусть урав­не­ние плос­ко­сти MBF это Под­став­ляя туда ко­ор­ди­на­ты точек, на­хо­дим (от­ку­да ) и то есть Пусть Итак, урав­не­ние этой плос­ко­сти Най­дем по фор­му­ле угол между ней и плос­ко­стью (ABC).

По­лу­чим

Ответ:

Ре­ше­ние. Решим не­ра­вен­ство:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть AO  =  l, O₁O  =  R. За­ме­тим, что O и O₁ лежат на пря­мой O₁A, так как впи­са­ны в один и тот же угол, сле­до­ва­тель­но, O₁ и O лежат на бис­сек­три­се. По­сколь­ку O₁A  — бис­сек­три­са, ∠O₁AC  =  30°. По­сколь­ку AC ка­са­ет­ся окруж­но­сти, AC ⊥ O₁C и AB ⊥ OB. Тогда тре­уголь­ни­ки O₁CA и OBA  — пря­мо­уголь­ные. По­это­му и Имеем

б)  Из преды­ду­ще­го пунк­та сле­ду­ет, что По тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке KOO₁ имеем:

По­сколь­ку KO, OT, O₁K, O₁T  — ра­ди­у­сы, сле­до­ва­тель­но, KO  =  OT, O₁K  =  O₁T. Тогда KOTO₁  — дель­то­ид. Зна­чит, OO₁ ⊥ TK. Зна­чит, тре­уголь­ник KMO₁  — пря­мо­уголь­ный. Тогда По­сколь­ку тре­уголь­ник MOT  — пря­мо­уголь­ный, то OM  — вы­со­та и ме­ди­а­на в тре­уголь­ни­ке KO₁T. Таким об­ра­зом, KT  =  2KM  =  15.

Ответ: б) 15.

Ре­ше­ние. Чтобы узнать, в на­ча­ле ка­ко­го года нужно про­дать цен­ную бу­ма­гу и по­ло­жить день­ги в банк, не­об­хо­ди­мо найти, в какой год при­бав­ка к счету ста­нет боль­ше 3000 руб­лей.

1-й год (2001 год) руб.

2-й год руб.

3-й год руб.

4-й год руб.

5-й год руб.

Зна­чит, нужно про­дать цен­ную бу­ма­гу в на­ча­ле 2005 года.

Ответ: 2005.

Ре­ше­ние. Гра­фик функ­ции   — па­ра­бо­ла, от­ра­жен­ная от­но­си­тель­но оси Ox. Вер­ши­на   — это точка (a; 3a − 1), она пе­ре­ме­ща­ет­ся по пря­мой

Ясно, что три ре­ше­ния будет при и в слу­чае ка­са­ния пря­мой и

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Да, на­при­мер, 16 крас­ных и 16 синих  — всего 480 руб­лей.

б)  Пусть x  — ко­ли­че­ство синих ка­ран­да­шей. По­сколь­ку синие ка­ран­да­ши де­шев­ле, то для наи­боль­ше­го ко­ли­че­ства ка­ран­да­шей надо ку­пить их боль­ше, чем крас­ных.

Тогда всего 2x − 5 = 33.

По­лу­чи­ли не­це­лый x. Про­ве­рим дру­гой слу­чай:

Тогда всего Таким об­ра­зом, воз­мож­но ку­пить 33 ка­ран­да­ша мак­си­мум. Сле­до­ва­тель­но, 35 ка­ран­да­шей ку­пить нель­зя.

в)  В пунк­те б) до­ка­за­но, что воз­мож­но ку­пить мак­си­мум 33 ка­ран­да­ша.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  33.