Ре­ше­ние. а)  Решим урав­не­ние:

б)  Среди пред­став­лен­ных кор­ней от­бе­рем те, ко­то­рые при­над­ле­жат от­рез­ку

Это числа

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. Сразу от­ме­тим, что дан­ное в усло­вии рас­сто­я­ние  — вы­со­та приз­мы.

а)  Вве­дем ко­ор­ди­на­ты с на­ча­лом в точке A и осями, на­прав­лен­ны­ми по реб­рам Тогда ко­ор­ди­на­ты вер­шин будут Зна­чит, пря­мая имеет урав­не­ние а пер­пен­ди­ку­ляр­ная ей плос­кость  — урав­не­ние Для того, чтобы плос­кость про­хо­ди­ла через точку нужно взять

Точка, де­ля­щая в от­но­ше­нии имеет ко­ор­ди­на­ты Под­став­ляя ее в урав­не­ние плос­ко­сти, по­лу­ча­ем то есть эта точка лежит и в плос­ко­сти, что и тре­бо­ва­лось.

б)  Урав­не­ние плос­ко­сти ос­но­ва­ния приз­мы По фор­му­ле най­дем ко­си­нус угла

Ответ:

Ре­ше­ние. Решим не­ра­вен­ство:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Будем пока счи­тать, что F и Q лежат на про­дол­же­ни­ях DE и CB со­от­вет­ствен­но а осталь­ные точки  — на от­рез­ках. Тогда че­ты­рех­уголь­ни­ки FEHA и APCQ впи­сан­ные (имеют по два про­ти­во­по­лож­ных пря­мых угла), от­ку­да

что и тре­бо­ва­лось.

Пусть те­перь Q лежит на про­дол­же­нии CB, а осталь­ные точки  — на от­рез­ках. Тогда че­ты­рех­уголь­ни­ки FEHA и APCQ впи­сан­ные (имеют два про­ти­во­по­лож­ных пря­мых угла и два рав­ных пря­мых угла между сто­ро­ной и диа­го­на­лью пер­вый), от­ку­да что и тре­бо­ва­лось.

Ана­ло­гич­но раз­би­ра­ют­ся осталь­ные слу­чаи рас­по­ло­же­ния точек.

б)  Углы QCA и HEA равны как впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу AB, по­это­му пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки CQA и AHE по­доб­ны. Углы AEF и ACP равны, по­сколь­ку оба они в сумме с углом AED дают 180°. Сле­до­ва­тель­но, по­доб­ны пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AFE и APC. Тогда верны про­пор­ции и Раз­де­лим первую на вто­рую, по­лу­чим от­ку­да

Ответ:

Ре­ше­ние. По­сколь­ку алю­ми­ний и ни­кель вза­и­мо­за­ме­ня­е­мы, не­об­хо­ди­мо, чтобы в каж­дой об­ла­сти не­за­ви­си­мо от дру­гой было до­бы­то наи­боль­шее ко­ли­че­ство ме­тал­ла. По­это­му всех ра­бо­чих пер­вой об­ла­сти не­об­хо­ди­мо на­пра­вить на до­бы­чу алю­ми­ния  — за еди­ни­цу вре­ме­ни они до­бы­ва­ют его в два раза боль­ше, чем ни­ке­ля. За сутки они до­бу­дут: кг алю­ми­ния.

Пусть во вто­рой об­ла­сти y че­ло­век за­ня­ты на до­бы­че алю­ми­ния, за 5 часов они до­бу­дут кг. Тогда осталь­ные 250  − y че­ло­век за­ня­ты на до­бы­че ни­ке­ля, за 5 часов они до­бу­дут его кг.

Най­дем наи­боль­шее на зна­че­ние функ­ции для на­ту­раль­ных y, не пре­вос­хо­дя­щих 250. Имеем:

Най­ден­ная про­из­вод­ная равна нулю, если то есть при от­ку­да Изоб­ра­зим по­ве­де­ние функ­ции на ри­сун­ке. За­ме­тим, что f воз­рас­та­ет на [0; 125] и убы­ва­ет на [125; 250]. Сле­до­ва­тель­но, кг.

Тем самым, во вто­рой об­ла­сти 125 ра­бо­чих не­об­хо­ди­мо на­пра­вить на до­бы­чу алю­ми­ния, и 125  — на до­бы­чу ни­ке­ля. За смену они до­бу­дут 50 кг ме­тал­лов.

Общая масса ме­тал­лов со­став­ля­ет 250 + 50 = 300 (кг).

Ответ: 300 кг.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что при любых зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной x и па­ра­мет­ра a зна­ме­на­тель дроби в левой части не­ра­вен­ства по­ло­жи­те­лен, по­это­му ис­ход­ное не­ра­вен­ство рав­но­силь­но не­ра­вен­ству

Для того чтобы мно­же­ство ре­ше­ний не­ра­вен­ства со­дер­жа­ло от­ре­зок ко­си­нус дол­жен при­ни­мать зна­че­ния (см. рис.)

Пусть тогда и не­ра­вен­ство при­ни­ма­ет вид

Введём функ­цию

Для того чтобы мно­же­ство ре­ше­ний не­ра­вен­ства (3) со­дер­жа­ло от­ре­зок не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы од­но­вре­мен­но вы­пол­ня­лись два усло­вия и

Ответ: