По­сколь­ку алю­ми­ний и ни­кель вза­и­мо­за­ме­ня­е­мы, не­об­хо­ди­мо, чтобы в каж­дой об­ла­сти не­за­ви­си­мо от дру­гой было до­бы­то наи­боль­шее ко­ли­че­ство ме­тал­ла. По­это­му всех ра­бо­чих пер­вой об­ла­сти не­об­хо­ди­мо на­пра­вить на до­бы­чу алю­ми­ния  — за еди­ни­цу вре­ме­ни они до­бы­ва­ют его в два раза боль­ше, чем ни­ке­ля. За сутки они до­бу­дут: кг алю­ми­ния.

Пусть во вто­рой об­ла­сти y че­ло­век за­ня­ты на до­бы­че алю­ми­ния, за 5 часов они до­бу­дут кг. Тогда осталь­ные 250  − y че­ло­век за­ня­ты на до­бы­че ни­ке­ля, за 5 часов они до­бу­дут его кг.

Най­дем наи­боль­шее на зна­че­ние функ­ции для на­ту­раль­ных y, не пре­вос­хо­дя­щих 250. Имеем:

Най­ден­ная про­из­вод­ная равна нулю, если то есть при от­ку­да Изоб­ра­зим по­ве­де­ние функ­ции на ри­сун­ке. За­ме­тим, что f воз­рас­та­ет на [0; 125] и убы­ва­ет на [125; 250]. Сле­до­ва­тель­но, кг.

Тем самым, во вто­рой об­ла­сти 125 ра­бо­чих не­об­хо­ди­мо на­пра­вить на до­бы­чу алю­ми­ния, и 125  — на до­бы­чу ни­ке­ля. За смену они до­бу­дут 50 кг ме­тал­лов.

Общая масса ме­тал­лов со­став­ля­ет 250 + 50 = 300 (кг).

Ответ: 300 кг.