Ре­ше­ние. а)  Решим урав­не­ние:

б)  Среди пред­став­лен­ных кор­ней отберём те, ко­то­рые при­над­ле­жат от­рез­ку

Это числа и

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть AH  — ис­ко­мая вы­со­та. Про­ве­дем пря­мую SH, обо­зна­чим K точку пе­ре­се­че­ния пря­мой SH со сто­ро­ной ос­но­ва­ния BC. Про­ве­дем пря­мую AK. Точки T и N  — се­ре­ди­ны сто­рон AC и AB, по­это­му от­ре­зок TN  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC. Сле­до­ва­тель­но, TN делит от­ре­зок AK на две рав­ные части. По­это­му MF  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка SKA, она делит AH на две рав­ные части.

б)  По усло­вию AB  =  AC, по­это­му тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный. По­сколь­ку SC  =  SB, тре­уголь­ник SCB тоже рав­но­бед­рен­ный. Ребро SA пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, по­это­му оно пер­пен­ди­ку­ляр­но и сто­ро­не ос­но­ва­ния AB. Тогда пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки SAC и SAB равны по двум ка­те­там.

Так как AC  =  AB, AH ⊥ (CBS), сле­до­ва­тель­но, HC ⊥ AH, AH ⊥ HB, тогда HC  =  HB. Зна­чит, точка H при­над­ле­жит се­ре­дин­но­му пер­пен­ди­ку­ля­ру к CB, то есть SK, так как SK  — ме­ди­а­на, вы­со­та и бис­сек­три­са рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка. Тогда AK  — бис­сек­три­са, ме­ди­а­на и вы­со­та рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра AK  =  

По­сколь­ку SA ⊥ (ABC), SA ⊥ AK. Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра SK  =  5. Далее, то есть SH  =  1, сле­до­ва­тель­но, из тре­уголь­ни­ка SAH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра AH  =  2. Тогда ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно 1.

Ответ: б) 1.

Решим пункт б) ме­то­дом объёмов (Денис Чер­нышёв, Тю­мень).

Объем пи­ра­ми­ды можно вы­ра­зить двумя спо­со­ба­ми: и При­рав­ни­вая объ­е­мы, по­лу­ча­ем

а зна­чит, Оста­лось найти пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков ABC и SCB.

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра на­хо­дим вы­со­ту

от­ку­да по­лу­ча­ем пло­щадь:

Вы­со­ту тре­уголь­ни­ка SCB най­дем из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка

тогда

Сле­до­ва­тель­но, Таким об­ра­зом, по до­ка­зан­но­му в п. а), ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно 1.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что и что по­это­му пер­вое сла­га­е­мое равно 4²  =  16. Имеем:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  По тео­ре­ме Ме­не­лая и По­сколь­ку на­хо­дим:

б)  По тео­ре­ме Ме­не­лая Также имеем За­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки AB₁B и BCB₁ имеют общую вы­со­ту, сле­до­ва­тель­но: По­это­му Ана­ло­гич­но до­ка­зы­ва­ем, что

Тре­уголь­ни­ки AOC и AC₁O имеют общую вы­со­ту, по­это­му Ана­ло­гич­но до­ка­зы­ва­ем, что Тогда

Ответ:

При­ведём дру­гое ре­ше­ние (Олег Цим­ба­лист).

а)  Из за­дан­но­го по усло­вию со­от­но­ше­ния длин от­рез­ков сле­ду­ет по­до­бие тре­уголь­ни­ков ABC и из ко­то­ро­го, в свою оче­редь, сле­ду­ет па­рал­лель­ность от­рез­ков BC и От­ре­зок рас­се­ка­ет ис­ход­ный тре­уголь­ник ABC на тре­уголь­ник и тра­пе­цию в ко­то­рой точка О  — это точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей.

Точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей тра­пе­ции лежит на пря­мой, про­хо­дя­щей через точку пе­ре­се­че­ния про­дол­же­ний бо­ко­вых сто­рон тра­пе­ции и се­ре­ди­ны её ос­но­ва­ний, из чего сле­ду­ет ис­ко­мое утвер­жде­ние.

б)  Пусть в тре­уголь­ни­ке ABC длина ос­но­ва­ния BC равна a, а вы­со­та, опу­щен­ная из вер­ши­ны на ос­но­ва­ние BC, равна h. И пусть пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС равна тогда

Вы­со­та от­се­чен­ной тра­пе­ции со­ста­вит Диа­го­на­ли тра­пе­ции от­се­ка­ют от неё по­доб­ные тре­уголь­ни­ки BCO и в ко­то­рых

Вы­со­ты этих тре­уголь­ни­ков тоже со­от­но­сят­ся как 5 : 1, сле­до­ва­тель­но, вы­со­та тре­уголь­ни­ка BCO со­ста­вит 5/⁠6 от вы­со­ты тра­пе­ции По­это­му пло­щадь а пло­щадь тре­уголь­ни­ка со­ста­вит его 25-⁠ю часть, то есть На­ко­нец,

Итак, ис­ко­мое со­от­но­ше­ние равно 1 : 15.

Ре­ше­ние. Со­ста­вим таб­ли­цу вы­плат и на­чис­ле­ния про­цен­тов:

Год	Было	Стало
1-ый	руб.	руб.
2-ой	руб.	руб.
3-ий	руб.	руб.
4-ый	руб.	руб.
5-ый	руб.	руб.
6-ой	руб.	руб.

На 6-й год ста­нет мень­ше 270 000 руб., то есть по­след­няя вы­пла­та все по­кро­ет.

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что ис­ход­ное урав­не­ние можно за­пи­сать в виде

Рас­смот­рим функ­цию Её про­из­вод­ная зна­чит, функ­ция яв­ля­ет­ся воз­рас­та­ю­щей и каж­дое свое зна­че­ние при­ни­ма­ет ровно один раз. Тогда ис­ход­ное урав­не­ние рав­но­силь­но квад­рат­но­му урав­не­нию или ко­то­рое не имеет кор­ней при то есть при

Ответ: