PDF-версии: 1. Тип Д8 C1 № 515201 
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения
Уравнения, системы уравнений. Сложные уравнения смешанного типа
i
а) Решите уравнение 
б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку
Решение. а) Поскольку оба множителя по модулю не превосходят единицы, они оба должны быть равны 1 и −1. Первый множитель дает 
при 
Ясно, что второй при таких x всегда дает 
Поэтому и первый должен давать −1. Остаются 
б) Очевидно при 
получается число на нужном отрезке, а прибавляя или вычитая 
мы сразу вылетим с отрезка длины 2.
Ответ а) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
515201
а) б)
б) Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения
поскольку плоскость 
делит высоту пирамиды пополам и параллельна плоскости основания).
— середина 
Тогда 
— оба они подобны 
с коэффициентом 
Следовательно, они оба равносторонние. Центр сферы будет лежать на высоте пирамиды, которая равна 
равны и их радиусы описанных окружностей. Они равны 
А центр сферы лежит посредине между плоскостями этих треугольников. Поэтому расстояние от него до плоскостей равно 
и тогда радиус сферы равен 
получим неравенство 
откуда 
Кроме того, 
а значит, аргумент первого модуля не принимает отрицательных значений. Следовательно, 
откуда 
Таким образом, получаем:
что справедливо, если и только если 
Таким образом, 
то есть, учитывая уже полученные ограничения, 
или 
Тогда 
или 
и получив неравенство 
можно заметить, что оно имеет вид 
Последнее неравенство верно тогда и только тогда, когда одновременно 
и 
Следовательно,
поэтому 
поэтому в четырехугольнике 
есть два противоположных угла по 
Значит, он вписанный.
поэтому 
и вписанная окружность действительно есть. Заметим, что KMDA — прямоугольник, поэтому точка 
находится ровно посредине между прямыми 
и 
поэтому 
Далее, 
и при этом 
имеем 
Теперь найдем радиус по известной формуле 
и 
минут соответственно. Тогда по условию 
и 
Решая эту систему, находим 
Поэтому один придет раньше другого на полчаса.
(то есть 
) соответствует два различных значения переменной x, 
(
) − четыре различных значения переменной x, 
(
) − три различных значения переменной 
имеет единственный корень меньший 2;
имеет два корня большие 2.
Значит, квадратное уравнение имеет единственный корень 
при 
или 
что не подходит. (Исходное уравнение имеет два корня)
получаем, что 
что подходит. (Исходное уравнение имеет четыре корня)
Исследуем функцию 
Она четная, убывает на 
от 2 до 
и возрастает дальше от 
Поэтому значения из промежутка 
она принимает по 4 раза, значение 2 — три раза, а значения из промежутка 
она принимает по 2 раза. Рассмотрим квадратное уравнение 
Каждый его корень дает 2, 3 или 4 корня исходного уравнения. Значит, либо оба корня должны давать по два, либо корень должен быть единственным и давать 4.
При 
имеем 
при 
имеем 
Четыре корня получилось при 
то оба они должны быть больше двух. Значит, дискриминант положителен, вершина параболы 
правее двойки и значение данного трехчлена при 
должно быть положительно. Получаем условия про 
— 
Получаем 
а такие на 12 не делятся. Покажем, что четыре одинаковые цифры могут быть. Поскольку сумма цифр кратна 12 (и поэтому кратна 3), число кратно трем. Чтобы оно было кратно еще и четырем, последние две его цифры должны образовывать число, кратное 4. Переберем варианты:
— невозможно, так как числа 11, 18, 81 не кратны 4;
— возможно, если число кончается на 24; такое число одно;
— невозможно, так как числа 30, 33, 03 не кратны 4;
— возможно с любой перестановкой цифр, имеется 5 вариантов; 
— невозможно, так как числа 55, 45, 54> не кратны 4;
— возможно, если число кончается на 60; такое число одно;
— невозможно, так как числа 77, 78, 87 не кратны 4;
— возможно с любой перестановкой цифр, имеется 5 вариантов;
— невозможно, так как числа 99, 90, 09 не кратны 4.
чисел.