ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 515206 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

$\log в квадрате _2|4 минус x в квадрате | минус 2a умножить на логарифм по основанию 2 |x в квадрате минус 4| плюс a плюс 6=0$

имеет ровно четыре различных корня.

Спрятать решение

Решение.

Исходное уравнение равносильно уравнению

$\log в квадрате _2|x в квадрате минус 4| минус 2a умножить на логарифм по основанию 2 |x в квадрате минус 4| плюс a плюс 6=0.$

Сделаем замену $b=|x в квадрате минус 4|.$

$\log в квадрате _2b минус 2a умножить на логарифм по основанию 2 b плюс a плюс 6=0.$

Сделаем замену $t= логарифм по основанию 2 b.$

$t в квадрате минус 2at плюс a плюс 6=0.$

Заметим, что в силу монотонности логарифмической функции, каждому значению t соответствует ровно одно значение переменной $b.$

Заметим также, что

каждому значению $b больше 4$ (то есть $t больше 2$ ) соответствует два различных значения переменной x,

каждому значению $0 меньше b меньше 4$ ( $t меньше 2$ ) − четыре различных значения переменной x,

а значению $b=4$ ( $t=2$ ) − три различных значения переменной $x.$

Таким образом, исходное уравнение будет иметь ровно четыре различных корня в двух случаях:

1)  если квадратное уравнение $t в квадрате минус 2at плюс a плюс 6=0$ имеет единственный корень меньший 2;

2)  если квадратное уравнение $t в квадрате минус 2a t плюс a плюс 6=0$ имеет два корня большие 2.

Рассмотрим первый случай.

Для квадратного уравнения $t в квадрате минус 2at плюс a плюс 6=0$ имеем $дробь: числитель: D, знаменатель: 4 конец дроби = a в квадрате минус a минус 6= левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка .$ Значит, квадратное уравнение имеет единственный корень $t=a$ при $a=3$ или $a= минус 2.$

При $a=3$ получаем, что $t=3,$ что не подходит. (Исходное уравнение имеет два корня)

При $a= минус 2$ получаем, что $t= минус 2,$ что подходит. (Исходное уравнение имеет четыре корня)

Рассмотрим второй случай.

Для того, чтобы два корня квадратного уравнения были больше 2 достаточно выполнения следующих условий

$система выражений дробь: числитель: D, знаменатель: 4 конец дроби больше 0,2 в квадрате минус 2a умножить на 2 плюс a плюс 6 больше 0,t_0 больше 2 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка больше 0,3a меньше 10,a больше 2 конец системы . равносильно 3 меньше a меньше дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби$

Исходное уравнение имеет ровно четыре различных корня при $a= минус 2$ или при $3 меньше a меньше дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби .$

Приведём другое решение.

Обозначим $t= логарифм по основанию 2 \abs4 минус x в квадрате .$ Исследуем функцию $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 \abs4 минус x в квадрате .$ Она четная, убывает на $левая квадратная скобка 0;2 правая круглая скобка$ от 2 до $минус бесконечность$ и возрастает дальше от $минус бесконечность$ до $плюс бесконечность .$ Поэтому значения из промежутка $левая круглая скобка минус бесконечность ; 2 правая круглая скобка$ она принимает по 4 раза, значение 2  — три раза, а значения из промежутка $левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка$ она принимает по 2 раза. Рассмотрим квадратное уравнение $t в квадрате минус 2at плюс a плюс 6=0.$ Каждый его корень дает 2, 3 или 4 корня исходного уравнения. Значит, либо оба корня должны давать по два, либо корень должен быть единственным и давать 4.

Если корень единственный, то $D=0.$ $D=4a в квадрате минус 4a минус 24=4 левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка .$ При $a= минус 2$ имеем $t= минус 2,$ при $a=3$ имеем $t=3.$ Четыре корня получилось при $a= минус 2.$

Если корней $2,$ то оба они должны быть больше двух. Значит, дискриминант положителен, вершина параболы $t в квадрате минус 2at плюс a плюс 6$ правее двойки и значение данного трехчлена при $t=2$ должно быть положительно. Получаем условия про $a$   — $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка ,$ $a больше 2,$ $10 минус 3a больше 0.$ Получаем $a принадлежит левая круглая скобка 3; дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$

Ответ: $a= минус 2; 3 меньше a меньше дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 170

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь