Ре­ше­ние. а)  За­пи­шем ис­ход­ное урав­не­ние в виде:

Зна­чит, или от­ку­да или или от­ку­да или

б)  С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку По­лу­чим числа:

Ответ: a) б)

Ре­ше­ние. Пло­щадь ос­но­ва­ния приз­мы равна а объём приз­мы равен

В четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де B₁A₁C₁NM вы­со­та сов­па­да­ет с вы­со­той ос­но­ва­ния приз­мы A₁B₁C₁, опу­щен­ной на сто­ро­ну A₁C₁, и равна Ос­но­ва­ние A₁C₁NM пи­ра­ми­ды B₁A₁C₁NM яв­ля­ет­ся тра­пе­ци­ей, пло­щадь ко­то­рой равна 48. Зна­чит, объём пи­ра­ми­ды B₁A₁C₁NM равен то есть со­став­ля­ет по­ло­ви­ну объёма приз­мы. По­это­му объёмы мно­го­гран­ни­ков B₁A₁C₁NM и ABCMB₁N равны.

б)  В четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де BACNM вы­со­та сов­па­да­ет с вы­со­той ос­но­ва­ния приз­мы ABC, опу­щен­ной на сто­ро­ну AC, и равна Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся тра­пе­ция ACNM, пло­щадь ко­то­рой S_ACNM = 16. Тогда V_BACNM =

Мно­го­гран­ник ABCMB₁N со­сто­ит из двух ча­стей: BACNM и MNBB₁. Зна­чит,

Ответ:

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что при любых зна­че­ни­ях x. Зна­чит, вы­ра­же­ние по­ло­жи­тель­но при от­ри­ца­тель­но при и не опре­де­ле­но при и

При вы­ра­же­ние по­ло­жи­тель­но, а при ис­ход­ное не­ра­вен­ство рав­но­силь­но не­ра­вен­ству от­ку­да Таким об­ра­зом, ре­ше­ние ис­ход­но­го не­ра­вен­ства:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть O  — от­лич­ная от A₁ точка пе­ре­се­че­ния окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков A₁CB₁ и A₁BC₁ (рис. 1).

Тогда

от­ку­да

Зна­чит, сле­до­ва­тель­но, точки A, B₁, O и C₁ лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Пусть O₁, O₂ и O₃  — цен­тры окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков B₁AC₁, A₁BC₁ и A₁CB₁ со­от­вет­ствен­но (рис. 2). За­ме­тим, что как ра­ди­у­сы опи­сан­ных окруж­но­стей около рав­ных тре­уголь­ни­ков. Зна­чит, тре­уголь­ни­ки AO₁C₁ и C₁O₂B равны. Кроме того, тре­уголь­ник O₂C₁O₁ также равен этим тре­уголь­ни­кам, по­сколь­ку

Таким об­ра­зом, Ана­ло­гич­но, по­это­му тре­уголь­ник O₁O₂O₃ по­до­бен тре­уголь­ни­ку ABC с ко­эф­фи­ци­ен­том и ра­ди­ус впи­сан­ной в него окруж­но­сти равен по­ло­ви­не ра­ди­у­са окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

Пусть M  — се­ре­ди­на BC, а ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC, равен r (рис. 3). Тогда пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна

C дру­гой сто­ро­ны, вы­со­та рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равна по­это­му пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 60. Зна­чит, r  =  2,4. Ис­ко­мый ра­ди­ус равен

Ответ: 1,2.

Ре­ше­ние. В конце пер­во­го года вклад со­ста­вит 6,6 млн руб­лей, а в конце вто­ро­го  — 7,26 млн руб­лей. Пусть ис­ко­мая сумма равна x (млн руб­лей). Тогда в на­ча­ле тре­тье­го года вклад со­ста­вит а в конце  — В на­ча­ле четвёртого года вклад со­ста­вит а в конце  —

По усло­вию, нужно найти наи­мень­шее целое x, для ко­то­ро­го вы­пол­не­но не­ра­вен­ство

Наи­мень­шее целое ре­ше­ние этого не­ра­вен­ства  — число 3. Зна­чит, ис­ко­мая сумма  — 3 млн руб­лей.

Ответ: 3 млн руб­лей.

Ре­ше­ние. За­пи­шем пер­вое урав­не­ние в виде

При левая часть не имеет смыс­ла. При урав­не­ние задаёт пря­мую и ги­пер­бо­лу (см. рис.).

При каж­дом зна­че­нии a урав­не­ние задаёт пря­мую, па­рал­лель­ную пря­мой или сов­па­да­ю­щую с ней.

При такая пря­мая пе­ре­се­ка­ет пря­мую при пе­ре­се­ка­ет пра­вую ветвь ги­пер­бо­лы при любом зна­че­нии a, пе­ре­се­ка­ет левую ветвь ги­пер­бо­лы при При этом пря­мая про­хо­дит через точку пе­ре­се­че­ния пря­мой и ги­пер­бо­лы при

Число ре­ше­ний ис­ход­ной си­сте­мы равно числу точек пе­ре­се­че­ния пря­мой и ги­пер­бо­лы с пря­мой при усло­вии Таким об­ра­зом, ис­ход­ная си­сте­ма имеет ровно два ре­ше­ния при

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  На­при­мер, для на­бо­ра чисел {13; 14; 15; ...; 25} Васин ре­зуль­тат равен 13 · 14 · 15 · ... · 25, Петин ре­зуль­тат равен 14 · 15 · 16 · ... · 26, то есть в два раза боль­ше.

б)  От до­бав­ле­ния новых чисел от­но­ше­ние ре­зуль­та­тов Пети и Васи ста­но­вит­ся толь­ко боль­ше. Зна­чит, наи­боль­шее от­но­ше­ние будет, если Вася пе­ре­мно­жит все на­ту­раль­ные числа из от­рез­ка [13; 70]. В этом слу­чае Васин ре­зуль­тат равен 13 · 14 · 15 · ... · 70, а Петин ре­зуль­тат равен 14 · 15 · 16 · ... · 71. От­но­ше­ние этих чисел равно Зна­чит, Петин ре­зуль­тат не может быть ровно в 7 раз боль­ше Ва­си­но­го.

в)  В пунк­те б было по­ка­за­но, что Петин ре­зуль­тат пре­вос­хо­дит Васин не более чем в раза. Наи­боль­шее целое число, мень­шее   — это 5.

Для на­бо­ра чисел {13; 14; 15; ...; 64} Васин ре­зуль­тат равен 13 · 14 · 15 · ... · 64, Петин ре­зуль­тат равен 14 · 15 · 16 · ... · 65, то есть в пять раз боль­ше.

Зна­чит, наи­боль­шее целое от­но­ше­ние ре­зуль­та­тов Пети и Васи равно 5.

Ответ: а) да; б) нет; в) 5.