1. Тип Д8 C1 № 514065 
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Основное тригонометрическое тождество и его следствия, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, Однородные тригонометрические уравнения
Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ
i
Дано уравнение 
а) Решите уравнение.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Преобразуем уравнение
Очевидно, если 
то такое x не является корнем уравнения. Поэтому можно поделить на 
или 
б) В данном промежутке лежат числа 
Ответ: а) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 514065
а) б)
б) 
поскольку проекция 
на грань ABCD (то есть AC) перпендикулярна BD. Аналогично 
Поэтому и 
по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
откуда 
Ясно, что и 
При этом 
поэтому отрезок диагонали, заключенный между плоскостями, равен 
откуда 
и 
равны 
откуда объем части куба между плоскостями равен 
Как известно, треугольники ABD и BCD подобны с коэффициентом 
и в таком же отношении находятся их радиусы вписанных окружностей. Значит, 
Тогда 
откуда 
Итак, за полгода вклад в размере 20000 умножится на 1,1 и станет равен 22000. Поэтому превышение суммы 22000 впервые случится после седьмого месяца.
) разбиваются на пары, и их четное количество. Поэтому если мы хотим ровно три решения, то одно из них должно иметь 
Тогда из первого уравнения 
является решением системы, а при выписывании в ответ не забудем взять a с противоположными знаками.
то есть 
или 
Разберем теперь эти случаи.
и второе уравнение дает 
то есть 
или 
Второе, очевидно, невозможно.
то из первого уравнения имеем 
Итак, в этом случае система имеет единственное решение, что нас не устраивает.
То есть 
Поскольку 
минимум одно из чисел больше чем ?1. Будем считать, что это x (иначе поменяем x и y местами, это возможно, как мы уже обсуждали).
Как уже выяснялось, это уравнение в сочетании с первым дает лишь ответ (1, 1).
при этом 
то есть 
Из первого уравнения 
то есть 
Это не подходит.
Нас устраивает только 
При этом 
поэтому на самом деле это не решение системы.
при этом 
Из первого уравнения 
Это дает еще два ответа.
положим 
), а доминошки с суммой чисел 6 (их 4 штуки, и они дают пару сами себе) просто разложим на две пары. Тогда в каждой паре сумма одна и та же (12). 
что не кратно 5, поэтому сделать 5 одинаковых кучек не получится.
что невозможно для той кучки, в которую попадет костяшка 