На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на 3 и уменьшают цифру в разряде единиц на 9, либо уменьшают цифру в разряде десятков на 3 и увеличивают цифру в разряде единиц на 3. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.
а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на 115 меньше суммы получившихся чисел?
б) Может ли количество чисел на доске равняться 40, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и больше 1331?
При первой операции число увеличивается на 
а при второй — уменьшается на 
а) И то, и другое кратно 3, а значит, и общая разность кратна 3. А 115 не кратно 3, поэтому сумма исходных чисел не может оказаться на 115 меньше суммы получившихся чисел.
б) Пусть c n числами проделали первую операцию, тогда с 
числами проделали вторую операцию. Сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел, поэтому общее увеличение равно общему уменьшению:
что невозможно ни при каком целом n.
в) Пусть всего на доске m чисел. Рассуждая аналогично пункту б), получаем:
Числа 16 и 9 взаимно простые, поэтому m кратно 16.
Пусть 
тогда 
Наибольшее число, с которым можно проделать первую операцию равно 69, а вторую — 96. Следовательно, сумма всех чисел не превосходит
то есть 
Следующее число, кратное 16 — 32, и для 
cуществует пример: с восемнадцатью числами 69 проделаем первую операцию, а с четырнадцатью числами 96 проделаем вторую операцию, при этом
Ответ: а) нет; б) нет; в) 32.