РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на 3 и уменьшают цифру в разряде единиц на 9, либо уменьшают цифру в разряде десятков на 3 и увеличивают цифру в разряде единиц на 3. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.

а)  Может ли сумма исходных чисел оказаться на 115 меньше суммы получившихся чисел?

б)  Может ли количество чисел на доске равняться 40, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?

в)  Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и больше 1331?

Решение. При первой операции число увеличивается на $30 минус 9 = 21,$ а при второй  — уменьшается на $30 минус 3 = 27.$

а)  И то, и другое кратно 3, а значит, и общая разность кратна 3. А 115 не кратно 3, поэтому сумма исходных чисел не может оказаться на 115 меньше суммы получившихся чисел.

б)  Пусть c n числами проделали первую операцию, тогда с $40 минус n$ числами проделали вторую операцию. Сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел, поэтому общее увеличение равно общему уменьшению:

$21n = 27 левая круглая скобка 40 минус n правая круглая скобка равносильно 7n = 9 левая круглая скобка 40 минус n правая круглая скобка равносильно 16n = 9 умножить на 40 равносильно 2n = 9 умножить на 5,$

что невозможно ни при каком целом n.

в)  Пусть всего на доске m чисел. Рассуждая аналогично пункту б), получаем:

$21n = 27 левая круглая скобка m минус n правая круглая скобка равносильно 7n = 9 левая круглая скобка m минус n правая круглая скобка равносильно 16n = 9m.$

Числа 16 и 9 взаимно простые, поэтому m кратно 16.

Пусть $m = 16,$ тогда $n = 9.$ Наибольшее число, с которым можно проделать первую операцию равно 69, а вторую  — 96. Следовательно, сумма всех чисел не превосходит

$9 умножить на 69 плюс 7 умножить на 96 = 1293 меньше 1331.$

то есть $m больше 16.$ Следующее число, кратное 16  — 32, и для $m = 32$ cуществует пример: с восемнадцатью числами 69 проделаем первую операцию, а с четырнадцатью числами 96 проделаем вторую операцию, при этом

$18 умножить на 69 плюс 14 умножить на 96 = 2 умножить на 1293 больше 1331.$

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  32.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	701650	а)  нет; б)  нет; в)  32.

Ключ