а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре ABCD все ребра равны 6. На реб­рах AB и AD от­ме­че­ны точки M и K со­от­вет­ствен­но так, что AM  =  AK  =  2.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость CMK делит тет­ра­эдр ABCD на два мно­го­гран­ни­ка, объёмы ко­то­рых от­но­сят­ся как 8 : 1.

б)  Най­ди­те ко­си­нус угла между плос­ко­стью CBD и плос­ко­стью CMK.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В июле 2028 года пла­ни­ру­ет­ся взять в банке кре­дит на че­ты­ре года в раз­ме­ре 8000 тысяч руб­лей. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 2% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

—  в июле 2029, 2030, 2031 годов долг дол­жен быть на 90% мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года;

—  к июлю 2032 года долг дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Сколь­ко тыс. руб. со­ста­вит сумма всех пла­те­жей после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та?

Вер­ши­ны A, B и C па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD лежат на окруж­но­сти, вер­ши­на D не лежит на этой окруж­но­сти. Ее хорды BK и BM пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мым AD и CD со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что че­ты­рех­уголь­ник ACMK яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ACMK, если ра­ди­ус окруж­но­сти равен 2, а

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два раз­лич­ных корня.

На доске на­пи­са­но не­ко­то­рое ко­ли­че­ство дву­знач­ных на­ту­раль­ных чисел, среди ко­то­рых могут быть оди­на­ко­вые. С каж­дым из этих чисел про­де­лы­ва­ют одну из двух опе­ра­ций: либо уве­ли­чи­ва­ют цифру в раз­ря­де де­сят­ков на 3 и умень­ша­ют цифру в раз­ря­де еди­ниц на 9, либо умень­ша­ют цифру в раз­ря­де де­сят­ков на 3 и уве­ли­чи­ва­ют цифру в раз­ря­де еди­ниц на 3. Все числа, по­лу­чив­ши­е­ся в ре­зуль­та­те, ока­за­лись дву­знач­ны­ми на­ту­раль­ны­ми.

а)  Может ли сумма ис­ход­ных чисел ока­зать­ся на 115 мень­ше суммы по­лу­чив­ших­ся чисел?

б)  Может ли ко­ли­че­ство чисел на доске рав­нять­ся 40, если сумма ис­ход­ных чисел равна сумме по­лу­чив­ших­ся чисел?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел может быть на­пи­са­но на доске, если сумма ис­ход­ных чисел равна сумме по­лу­чив­ших­ся чисел и боль­ше 1331?