На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на 4 и уменьшают цифру в разряде единиц на 5, либо уменьшают цифру в разряде десятков на 3 и увеличивают цифру в разряде единиц на 5. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.
а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на 79 меньше суммы получившихся чисел?
б) Может ли количество чисел на доске равняться 42, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и больше 2026?
При первой операции число увеличивается на 
а при второй — уменьшается на 
а) И то, и другое кратно 5, а значит, и общая разность кратна 5. А 79 не кратно 5, поэтому сумма исходных чисел не может оказаться на 79 меньше суммы получившихся чисел.
б) Пусть c n числами проделали первую операцию, тогда с 
числами проделали вторую операцию. Сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел, поэтому общее увеличение равно общему уменьшению:
что невозможно ни при каком целом n.
в) Пусть всего на доске m чисел. Рассуждая аналогично пункту б), получаем:
Числа 12 и 5 взаимно простые, поэтому m кратно 12.
Пусть 
тогда 
Наибольшее число, с которым можно проделать первую операцию равно 59, а вторую — 94. Следовательно, сумма всех чисел не больше
что по условию больше 2026, откуда k не меньше 3, а m — 36. И для 
cуществует пример: с пятнадцатью числами 59 проделаем первую операцию, а с двадцатью одним числом 94 проделаем вторую операцию, при этом
Ответ: а) нет; б) нет; в) 36.