Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 12 № 69993

Найдите наименьшее значение функции y = (x минус 24){{e} в степени x минус 23 } на отрезке [22;24].

Решение.

Найдем производную заданной функции:

{y}'=(x минус 24{)}'{{e} в степени x минус 23 } плюс (x минус 24)({{e} в степени x минус 23 }{)}'={{e} в степени x минус 23 } плюс (x минус 24){{e} в степени x минус 23 }=(x минус 23){{e} в степени x минус 23 }.

Найдем нули производной на заданном отрезке:

 система выражений  новая строка (x минус 23){{e} в степени x минус 23 }=0,  новая строка 22 меньше или равно x меньше или равно 24 конец системы . равносильно система выражений  новая строка x минус 23=0,  новая строка 22 меньше или равно x меньше или равно 24 конец системы . равносильно x=23.

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке x=23 заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение:

y(23)=e в степени 23 минус 23 (23 минус 24)= минус 1.

Таким образом, это число −1.

 

Ответ: −1.

Классификатор базовой части: 3.2.5 Точки экстремума функции, 3.2.6 Наибольшее и наименьшее значения функции, 4.2.1 Применение производной к исследованию функций и построению графиков, Наименьшее (наибольшее) значение функции на границе отрезка, Наименьшее (наибольшее) значение функции во внутренней точке отрезка, Наименьшее (наибольшее) значение функции на бесконечном промежутке