PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет два решения.
Решение. Рассмотрим первое уравнение системы. Заметим, что параметр a неотрицателен, так как иначе сумма модулей была бы отрицательным числом, чего быть не может. При 
получаем 
что противоречит второму уравнению системы. При 
уравнение 
задает на координатной плоскости квадрат с вершинами на координатных осях и диагоналями, равными 2a. График второго уравнения получается из графика функции 
сдвигом на четыре единицы влево вдоль оси абсцисс.
Из построенного рисунка видно, что при 
система имеет ровно одно решение, а при 
— 
имеет единственное решение. Имеем:
Уравнение 
имеет единственное решение в том случае, если дискриминант равен нулю. Решим уравнение 
:
Уравнение 
имеет единственное решение в том случае, если дискриминант равен нулю. Решим уравнение 
:
Учитывая, что 
получаем, что графики уравнений 
и 
касаются при 
При найденном значении а абсциссой точки касания является 
эта точка действительно лежит на стороне квадрата. Следовательно, система уравнений имеет два решения при 
и 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |