PDF-версии: 
Дана четырехугольная пирамида SABCD, в основании которой лежит ромб ABCD со стороной 10. Известно, что 
и 
а) Докажите, что ребро SD перпендикулярно плоскости основания пирамиды SABCD.
б) Найдите расстояние между прямыми AC и SB.
Решение. а) Пусть
откуда 
Из равнобедренного треугольника ASC получаем:
откуда 
По теореме косинусов для треугольника SOB находим:
откуда 
Следовательно, по теореме косинусов для треугольника SOD
откуда SD = 10. Заметим, что 
откуда 
Аналогично 
откуда 
Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая SD перпендикулярна плоскости ABCD.
б) Заметим, что диагональ AC перпендикулярна плоскости SBD (поскольку диагонали AC и BD перпендикулярны и диагональ AC перпендикулярна ребру SD), поэтому искомое расстояние равно расстоянию от точки O до ребра SB.
Пусть точка H — основание перпендикуляра, проведенного из точки O к ребру BS. Треугольники BOH и BSD подобны, следовательно,
следовательно,
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |