Тип 14 № 683412 
Стереометрическая задача. Сечения призм
i
В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. Точка P делит ребро AB в отношении AP : PB = 1 : 3, а точка Q — середина ребра A1C1. Через середину M ребра BC провели плоскость α, перпендикулярную отрезку PQ.
а) Докажите, что плоскость α параллельна ребру AB.
б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит отрезок PQ, считая от точки P, если известно, что AB = AA1, AB : BC = 2 : 5.
Решение.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
Дана прямая призма ABCA1B1C1. ABC — равнобедренный треугольник с основанием AB. На AB отмечена точка P такая, что AP : PB = 3 : 1. Точка Q делит пополам ребро B1C1. Точка M делит пополам ребро BC. Через точку M проведена плоскость α, перпендикулярная PQ.
а) Докажите, что прямая AB параллельна плоскости α.
б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит отрезок PQ, если AA1 = 5, AB = 12 и 
а) Докажем, что прямые AB и PQ перпендикулярны, отсюда и будет следовать, что сторона AB параллельна плоскости α.
Проведём высоту CH треугольника ABC. Он равнобедренный, поэтому H — середина AB. По теореме Фалеса для угла CBA перпендикуляр из точки M на прямую AB делит HB пополам, поэтому его основание и есть точка P. Осталось заметить, что отрезок QM перпендикулярен BC и, в силу того, что боковая грань призмы перпендикулярна основанию, плоскости ABC. Тогда по тереме о трёх перпендикулярах сторона AB перпендикулярна отрезку PQ. Таким образом, прямая AB параллельна плоскости α.
б) В треугольнике ABC имеем: cos 
откуда BC = 10, а также CH = 8 по теореме Пифагора, и MP = 4, как средняя линяя треугольника. Отсюда 
Пусть точка X — точка пересечения α и отрезка PQ. Тогда отрезок MX перпендикулярен отрезку PQ по определению перпендикулярности прямой и плоскости. Рассмотрим прямоугольный треугольник PQM: в нем отрезок MX — высота, проведенная к гипотенузе. Основание высоты делит гипотенузу в отношении квадратов катетов, откуда 
Ответ: б) 16 : 25.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: б) 3 : 2.
