PDF-версии: 
Дана прямая призма ABCA1B1C1. ABC — равнобедренный треугольник с основанием AB. На AB отмечена
а) Докажите, что прямая AB параллельна плоскости α.
б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит отрезок PQ, если AA1 = 5, AB = 12 и 
Решение. а) Докажем, что прямые AB и PQ перпендикулярны, отсюда и будет следовать, что сторона AB параллельна плоскости α.
Проведём высоту CH треугольника ABC. Он равнобедренный, поэтому H — середина AB. По теореме Фалеса для угла CBA перпендикуляр из точки M на прямую AB делит HB пополам, поэтому его основание и есть точка P. Осталось заметить, что отрезок QM перпендикулярен BC и, в силу того, что боковая грань призмы перпендикулярна основанию, плоскости ABC. Тогда по тереме о трёх перпендикулярах сторона AB перпендикулярна отрезку PQ. Таким образом, прямая AB параллельна плоскости α.
б) В треугольнике ABC имеем: cos 
откуда BC = 10, а также CH = 8 по теореме Пифагора, и MP = 4, как средняя линяя треугольника. Отсюда 
Пусть точка X — точка пересечения α и отрезка PQ. Тогда отрезок MX перпендикулярен отрезку PQ по определению перпендикулярности прямой и плоскости. Рассмотрим прямоугольный треугольник PQM: в нем отрезок MX — высота, проведенная к гипотенузе. Основание высоты делит гипотенузу в отношении квадратов катетов, откуда 
Ответ: б) 16 : 25.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |