Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 630204
i

На сто­ро­не BC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD вы­бра­на точка M такая, что A M=M C.

а)  До­ка­жи­те, что центр впи­сан­ной в тре­уголь­ник AMD окруж­но­сти лежит на диа­го­на­ли AC.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус впи­сан­ной в тре­уголь­ник AMD окруж­но­сти, если A B=6, B C=12, \angle B A D=60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  За­ме­тим, что \angle MAC=\angle MCA, как яв­ля­ют­ся уг­ла­ми при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, \angle MCA= \angle CAD, как на­крест ле­жа­щие. От­сю­да по­лу­ча­ем, что \angle MAC=\angle CAD, то есть AC яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла MAD. Но центр впи­сан­ной в тре­уголь­ник окруж­но­сти как раз лежит на его бис­сек­три­се. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Вы­чис­лим: \angle ABC = 180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle BAD=120 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка . При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов:

AC в квад­ра­те =6 в квад­ра­те плюс 12 в квад­ра­те минус 2 умно­жить на 6 умно­жить на 12 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =36 плюс 144 плюс 72=252.

От­сю­да AC=6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та . По тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC по­лу­ча­ем, что 6: синус \angle BCA=6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та : дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . От­сю­да синус \angle BCA= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та конец дроби . Тогда ко­си­нус \angle BCA= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та конец дроби , зна­чит, AM=MC=3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та : дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 42, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . Еще раз при­ме­нив тео­ре­му ко­си­ну­сов по­лу­ча­ем, что

MD в квад­ра­те =MC в квад­ра­те плюс AD в квад­ра­те минус 2 умно­жить на MC умно­жить на AD умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1404, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби .

Таким об­ра­зом, MD= дробь: чис­ли­тель: 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 39 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . Те­перь за­ме­тим, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка AMD равна по­ло­ви­не пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, то есть дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 6 умно­жить на 12 умно­жить на синус 60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка =18 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . Те­перь ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти можно найти из фор­му­лы S=pr. Вы­чис­лим ра­ди­ус:

r=\dfrac18 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та дробь: чис­ли­тель: 21, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс 6 плюс дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 39 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби =\dfrac30 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та 7 плюс 10 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 39 конец ар­гу­мен­та =\dfrac30 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка 17 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 39 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка 250=\dfrac51 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та 25.

Ответ: \dfrac51 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та 25.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 630220: 630204 630227 647139 ... Все

Источники:
Методы геометрии: Тео­ре­ма си­ну­сов, Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки, Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025