PDF-версии: 
На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что 
а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонали AC.
б) Найдите радиус вписанной в треугольник AMD окружности, если 
Решение. а) Заметим, что
как являются углами при основании равнобедренного треугольника, 
как накрест лежащие. Отсюда получаем, что 
то есть AC является биссектрисой угла MAD. Но центр вписанной в треугольник окружности как раз лежит на его биссектрисе. Что и требовалось доказать.
б) Вычислим: 
Применим теорему косинусов:
Отсюда 
По теореме синусов для треугольника ABC получаем, что 
Отсюда 
Тогда 
значит, 
Еще раз применив теорему косинусов получаем, что
Таким образом, 
Теперь заметим, что площадь треугольника AMD равна половине площади параллелограмма ABCD, то есть 
Теперь радиус вписанной окружности можно найти из формулы 
Вычислим радиус:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |