На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что 
а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонали AC.
б) Найдите радиус вписанной в треугольник AMD окружности, если 
a) Треугольник AMC равнобедренный, следовательно, 
Прямые AD и BC параллельны, следовательно, накрест лежащие углы BCA и CAD при секущей AC равны. Получаем, что 
а, значит, луч AC является биссектрисой угла MAD, на которой лежит центр вписанной в треугольник AMD окружности.
б) Обозначим 
через x, тогда 
По теореме косинусов в треугольнике ABM получаем
По теореме косинусов в треугольнике CMD, в котором 
Треугольник AMD и параллелограмм ABCD имеют общую высоту, равную расстоянию между прямыми AD и BC, и общую сторону AD, перпендикулярную этой высоте. Значит, площадь треугольника AMD равна половине площади параллелограмма ABCD:
С другой стороны, площадь треугольника AMD равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. Отсюда найдём радиус r вписанной в треугольник AMD окружности:
Ответ: б) 