а)  Пусть от­рез­ки NB и MC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E. Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки NAB и MBC равны по двум ка­те­там, зна­чит,

От­ре­зок BN  — про­ек­ция от­рез­ка на плос­кость ABC. Сле­до­ва­тель­но, по тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах пря­мые B₁N и CM пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Пусть плос­кость α пе­ре­се­ка­ет ребро CD в точке L. Пря­мые NL и CM, ле­жа­щие в плос­ко­сти ABC, па­рал­лель­ны, по­сколь­ку пря­мая NL лежит в плос­ко­сти α, па­рал­лель­ной пря­мой CM. Сле­до­ва­тель­но, a зна­чит, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки DLN и BMC по­доб­ны по остро­му углу. По­лу­ча­ем:

За­ме­тим, что по­сколь­ку пря­мая B₁N пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой NL, па­рал­лель­ной пря­мой CM. Пусть ребро куба равно a. По­лу­ча­ем:

Вы­ра­зим объём пи­ра­ми­ды CNLB₁ двумя спо­со­ба­ми:

где x  — рас­сто­я­ние от точки C до плос­ко­сти α. Из ра­вен­ства по­лу­ча­ем:

Ответ: б)

При­ве­дем ре­ше­ние Алек­сандра Тур­ба­но­ва (Ли­пецк).

а)  Вве­дем пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат с на­ча­лом в точке B (см. рис.). Пусть ребро куба равно a. В этой си­сте­ме ко­ор­ди­нат имеем:

Най­дем ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние век­то­ров и

б)  Най­дем ребро куба. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABN по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра на­хо­дим:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BB₁N по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра на­хо­дим:

по­это­му от­ку­да то есть и тогда

Най­дем век­тор нор­ма­ли к плос­ко­сти α, урав­не­ние ко­то­рой за­пи­шем в виде Нор­маль пер­пен­ди­ку­ляр­на век­то­ру а по­то­му их ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние равно нулю: Под­ста­вим в урав­не­ние плос­ко­сти ко­ор­ди­на­ты точек N, B₁ и решим си­сте­му урав­не­ний:

По­ло­жим, тогда

Най­дем рас­сто­я­ние от точки C до плос­ко­сти α:

а)  Пря­мая BN  — про­ек­ция B₁N на плос­кость ABCD. Тре­уголь­ни­ки BCM и ABN равны по двум ка­те­там, сле­до­ва­тель­но,

от­ку­да сле­до­ва­тель­но, пря­мая BN пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой CM. По тео­ре­ме о 3-x пер­пен­ди­ку­ля­рах пря­мые B₁N и CM пер­пен­ди­ку­ляр­ны, ч. т. д.

б)  Про­ведём пря­мую NP па­рал­лель­ную пря­мой CM. Тре­уголь­ник NPD по­до­бен тре­уголь­ни­ку CMB, зна­чит,

Рас­смот­рим пи­ра­ми­ду B₁CPN. Пусть от­ре­зок h₁  — вы­со­та, про­ве­ден­ная из точки B₁, а от­ре­зок h₂  — вы­со­та, про­ве­ден­ная из точки С. Тогда (за­пи­сан двумя спо­со­ба­ми утро­ен­ный объем пи­ра­ми­ды). Най­дем h₁. По т. Пи­фа­го­ра

от­ку­да

по­лу­ча­ем

Так как пря­мые NP и CM па­рал­лель­ны, то от­ре­зок B₁N пер­пен­ди­ку­ля­рен пря­мой NP, сле­до­ва­тель­но,

Зна­чит,

Тогда

Ответ: б) 2.