PDF-версии: 
В кубе ABCDA1B1C1D1 точки M и N являются серединами рёбер AB и AD соответственно.
а) Докажите, что прямые B1N и CM перпендикулярны.
б) Плоскость α проходит через точки N и B1 параллельно прямой CM. Найдите расстояние от точки C до плоскости α, если 
Решение. а) Прямая BN — проекция B1N на плоскость ABCD. Треугольники BCM и ABN равны по двум катетам, следовательно,
откуда 
следовательно, прямая BN перпендикулярна прямой CM. По теореме о 3-x перпендикулярах прямые B1N и CM перпендикулярны, ч. т. д.
б) Проведём прямую NP параллельную прямой CM. Треугольник NPD подобен треугольнику CMB, значит, 
Рассмотрим пирамиду B1CPN. Пусть отрезок h1 — высота, проведенная из точки B1, а отрезок h2 — высота, проведенная из точки С. Тогда 
(записан двумя способами утроенный объем пирамиды). Найдем h1. По т. Пифагора
откуда
получаем
Так как прямые NP и CM параллельны, то отрезок B1N перпендикулярен прямой NP, следовательно,
Значит,
Тогда
Ответ: б) 2.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |