а)  Для того, чтобы сумма трёх иду­щих под­ряд чисел была нечётна, рядом с каж­дым чётным чис­лом долж­ны сто­ять числа раз­ной чётно­сти, а рядом с каж­дым нечётным  — числа оди­на­ко­вой чётно­сти. Пред­по­ло­жим, что среди чисел есть чётное число, тогда для того, чтобы сумма трёх чисел была нечётна, рядом с ним долж­но сто­ять одно чётное и одно нечётное число: ... Ч, Ч, Н... но рядом с нечётным, долж­ны быть числа оди­на­ко­вой чётно­сти, по­это­му по­лу­ча­ем: ...Ч, Ч, Н, Ч... Но тогда сумма ука­зан­ных четырёх чисел не­чет­на и не может де­лить­ся на 4. Зна­чит, среди рас­став­лен­ных чисел чётных чисел нет. Ко­ли­че­ство нечётных чисел, не пре­вос­хо­дя­щих 425 равно 213. Зна­чит, и не может рав­нять­ся 280.

б)  Нечётные числа при де­ле­нии на 4 могут да­вать остат­ки 1 и 3. Для того чтобы сумма любых четырёх иду­щих под­ряд чисел де­ли­лась на 4, нужно либо ис­поль­зо­вать толь­ко числа, ко­то­рые дают оди­на­ко­вые остат­ки, но их не боль­ше 107, тогда что не под­хо­дит, либо числа, да­ю­щие раз­ные остат­ки, долж­ны че­ре­до­вать­ся (...1, 3, 1, 3... или ... 1, 1, 3, 3, 1, 1, 3, 3...) так, чтобы в каж­дых че­ты­рех иду­щих под­ряд чис­лах было по два числа, да­ю­щих раз­ные остат­ки, но тогда их по­ров­ну, и число N чет­ное. Зна­чит, N не может рав­нять­ся 149.

в)  Из рас­суж­де­ний в пунк­тах а) и б) по­лу­ча­ем, что При­ведём при­мер для

Зна­чит, наи­боль­шее зна­че­ние

Ответ: а)  нет, не может; б)  нет, не может; в)  212.

Пусть по кругу рас­став­ле­ны под­ряд числа a₁, a₂, a₃, a₄ и a₅. Сле­до­ва­тель­но, раз­ность

крат­на 3, то есть для чисел и остат­ки от де­ле­ния на 3 оди­на­ко­вы.

а)  Все 360 чисел можно раз­бить на че­ты­ре груп­пы по 90, вы­би­рая в каж­дую числа вида Су­ще­ству­ет всего три воз­мож­ных остат­ка от де­ле­ния на 3, по­это­му в двух груп­пах эти остат­ки сов­па­дут. Сле­до­ва­тель­но, среди 360 чисел будет не менее 180 с оди­на­ко­вым остат­ком. Но среди чисел от 1 до 400 каж­дый оста­ток от де­ле­ния на 3 встре­ча­ет­ся 133 или 134 раза.

б)  Числа дают оди­на­ко­вые остат­ки от де­ле­ния на 3. Сле­до­ва­тель­но, со­сед­ние числа a₁₄₉ и a₁ тоже дают оди­на­ко­вые остат­ки от де­ле­ния на 3. Таким об­ра­зом, все 149 чисел долж­ны иметь оди­на­ко­вый оста­ток от де­ле­ния на 3. Но таких чисел не более 134.

в)  Вы­бе­рем все 133 числа, да­ю­щие при де­ле­нии на 3 оста­ток 2, и все, кроме од­но­го, то есть 133 числа, да­ю­щие при де­ле­нии на 3 оста­ток 1, и вы­стро­им их по кругу, че­ре­дуя. В этом слу­чае сумма любых че­ты­рех иду­щих под­ряд чисел будет крат­на 3, по­сколь­ку а сумма любых трех иду­щих под­ряд не будет крат­на 3, по­то­му что Итак,  чисел взять можно.

Если среди N чисел есть хотя бы одно крат­ное 3, то вы­бе­рем че­ты­ре числа, где такое число x стоит пер­вым. Сумма S че­ты­рех этих чисел крат­на 3, тогда и сумма будет крат­на 3  — про­ти­во­ре­чие.

Если же среди N чисел нет крат­но­го 3, но чисел боль­ше чем 266, то их 267, то есть взяты 133 числа, да­ю­щие при де­ле­нии на 3 оста­ток 2, и 134 числа, да­ю­щие при де­ле­нии на 3 оста­ток 1. Но тогда числа дают оди­на­ко­вые остат­ки от де­ле­ния на 3, а с ними и число a₂, по­па­да­ю­щее в пя­тер­ку a₂₆₅, a₂₆₆, a₂₆₇, a₁ и a₂. Итак, в этом слу­чае любые два со­сед­них числа долж­ны да­вать оди­на­ко­вые остат­ки от де­ле­ния на 3, что не­воз­мож­но.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  266.