По кругу расставлено N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 400. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 3, а сумма любых трёх идущих подряд чисел не делится на 3.
а) Может ли N быть равным 360?
б) Может ли N быть равным 149?
в) Найдите наибольшее значение N.
Пусть по кругу расставлены подряд числа a1, a2, a3, a4 и a5. Следовательно, разность
кратна 3, то есть для чисел 
и 
остатки от деления на 3 одинаковы.
а) Все 360 чисел можно разбить на четыре группы по 90, выбирая в каждую числа вида 
Существует всего три возможных остатка от деления на 3, поэтому в двух группах эти остатки совпадут. Следовательно, среди 360 чисел будет не менее 180 с одинаковым остатком. Но среди чисел от 1 до 400 каждый остаток от деления на 3 встречается 133 или 134 раза.
б) Числа 
дают одинаковые остатки от деления на 3. Следовательно, соседние числа a149 и a1 тоже дают одинаковые остатки от деления на 3. Таким образом, все 149 чисел должны иметь одинаковый остаток от деления на 3. Но таких чисел не более 134.
в) Выберем все 133 числа, дающие при делении на 3 остаток 2, и все, кроме одного, то есть 133 числа, дающие при делении на 3 остаток 1, и выстроим их по кругу, чередуя. В этом случае сумма любых четырех идущих подряд чисел будет кратна 3, поскольку 
а сумма любых трех идущих подряд не будет кратна 3, потому что 
Итак, 
чисел
Если среди N чисел есть хотя бы одно кратное 3, то выберем четыре числа, где такое число x стоит первым. Сумма S четырех этих чисел кратна 3, тогда и сумма 
будет кратна 3 — противоречие.
Если же среди N чисел нет кратного 3, но чисел больше чем 266, то их 267, то есть взяты 133 числа, дающие при делении на 3 остаток 2, и 134 числа, дающие при делении на 3 остаток 1. Но тогда числа 
дают одинаковые остатки от деления на 3, а с ними и число a2, попадающее в пятерку a265, a266, a267, a1 и a2. Итак, в этом случае любые два соседних числа должны давать одинаковые остатки от деления на 3, что невозможно.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 266.