PDF-версии: 
По кругу расставлено N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 425. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 4, а сумма любых трёх идущих подряд чисел нечётна.
а) Может ли N быть равным 280?
б) Может ли N быть равным 149?
в) Найдите наибольшее значение N.
Решение. а) Для того, чтобы сумма трёх идущих подряд чисел была нечётна, рядом с каждым чётным числом должны стоять числа разной чётности, а рядом с каждым нечётным — числа одинаковой чётности. Предположим, что среди чисел есть чётное число, тогда для того, чтобы сумма трёх чисел была нечётна, рядом с ним должно стоять одно чётное и одно нечётное число: ... Ч, Ч, Н... но рядом с нечётным, должны быть числа одинаковой чётности, поэтому получаем: ...Ч, Ч, Н, Ч... Но тогда сумма указанных четырёх чисел нечетна и не может делиться на 4. Значит, среди расставленных чисел чётных чисел нет. Количество нечётных чисел, не превосходящих 425 равно 213. Значит, 
и не может равняться 280.
б) Нечётные числа при делении на 4 могут давать остатки 1 и 3. Для того чтобы сумма любых четырёх идущих подряд чисел делилась на 4, нужно либо использовать только числа, которые дают одинаковые остатки, но их не больше 107, тогда 
что не подходит, либо числа, дающие разные остатки, должны чередоваться (...1, 3, 1, 3... или ... 1, 1, 3, 3, 1, 1, 3, 3...) так, чтобы в каждых четырех идущих подряд числах было по два числа, дающих разные остатки, но тогда их поровну, и число N четное. Значит, N не может равняться 149.
в) Из рассуждений в пунктах а) и б) получаем, что 
Приведём пример для 
Значит, наибольшее значение 
Ответ: а) нет, не может; б) нет, не может; в) 212.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: ― обоснованное решение в п. а; ― пример в п. б; ― искомая оценка в п. в; ― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |