PDF-версии: 
В треугольник ABC вписана окружность. Она касается стороны AB в точке P. Точка M — середина AB.
а) Докажите, что 
б) Найдите углы треугольника ABC, если 
и 
Радиус окружности в 2 раза больше MP.
Решение. а) Пусть
K и N — точки касания окружности со сторонами BC и AC соответственно. Тогда CK = CN, BK = BP, AN = AP, откуда
откуда 
В случае AC > BC решение полностью аналогично.
б) Пусть CM = AM = BM, следовательно, по признаку прямоугольного треугольника, угол C равен 90°. Пусть O — центр окружности. Тогда CNOK — квадрат, т. к. все его углы прямые, а CN = CK. Пусть CK = OK = r, BK = x. Тогда 
откуда
Запишем теорему Пифагора для треугольника ABC:
откуда 
Следовательно, 
Ответ: б)
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |