PDF-версии: 
Окружность вписана в треугольник ABC, P — точка касания окружности со стороной AB, точка M — середина AB.
а) Докажите, что 
б) Найдите углы треугольника, если MC = MA, AC > BC, 
Решение. а) Без ограничения общности можно считать, что
Пусть N и K — точки касания окружности со сторонами AC и BC. Тогда CN = CK, BK = BP, AN = AP. Заметим, что
откуда 
В случае AC < BC решение аналогично. Что и требовалось доказать.
б) Если AM = MC, то по признаку прямоугольного треугольника угол C равен 90°. Пусть O — центр окружности. Тогда CNOK — квадрат, поскольку все его углы прямые и соседние стороны равны. Пусть CK = r, BK = x. Тогда 
Отсюда
Запишем теорему Пифагора для треугольника ABC:
Тогда 
откуда 
Ответ: б)
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |