РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Последовательность $левая фигурная скобка a_n правая фигурная скобка$ состоит из 100 натуральных чисел. Каждый член последовательности, начиная со второго, либо вдвое меньше предыдущего, либо больше его на 150.

а)  Может ли такая последовательность быть образована ровно пятью различными числами?

б)  Чему может равняться $a_100,$ если $a_1=75?$

в)  Какое наименьшее значение может принимать самое большое из чисел такой последовательности?

Решение. Будем говорить, что каждый следующий член получается из предыдущего делением на 2 или увеличением на 150.

а)  Да, например, 2400, 1200, 600, 300, 150, 300, 150, 300, ...

б)  Очевидно, что если какой-то член прогрессии нечетен, то его нельзя поделить на 2. Тогда придется для получения следующего члена прибавить 150, и он тоже будет нечетен. Следовательно? при нечетном первом члене все следующие члены будут нечетны и последовательность станет арифметической прогрессией с общим членом $a_100=75 плюс 99 умножить на 150=14925.$

в)  Сразу ясно, что последовательность 160, 80, 40, 20, 10, 160, ... удовлетворяет условию задачи и имеет наибольший член 160, поэтому последовательности, в которых попадаются члены, большие 160, рассматривать не имеет смысла.

Если первый член прогрессии не превосходит 160, то поделить на 2 удастся не более 8 раз. Значит, в первых десяти членах точно случится увеличение на 150. Если после этого получится нечетное число, то дальше придется только прибавлять 150, и самое большое число будет не меньше, чем $1 плюс 150 умножить на 89 больше 160.$

Теперь разберем случаи, начиная с первого прибавления 150. Прибавлять 150 дважды подряд нельзя, поскольку результат будет больше 300. Итак:

           $152\mapsto 76\mapsto 38\mapsto 188 больше 160$

           $152\mapsto 76\mapsto 226 больше 160$

           $154\mapsto 77\mapsto 227 больше 160$

           $156\mapsto 78\mapsto 39\mapsto 189 больше 160$

           $156\mapsto 78\mapsto 38\mapsto 188 больше 160$

           $158\mapsto 79\mapsto 229 больше 160$

Тем самым любое четное число от 152 до 158 приводит к числу, большему 160. Значит, 160 и есть ответ.

Ответ: а) да, б) 14 925, в) 160.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение пункта а; — обоснованное решение пункта б; — оценка в пункте в; — пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	539885	а) да, б) 14 925, в) 160.

Ключ