PDF-версии: 
Найти все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень.
Решение. Заметим, что
Пусть 
в силу сделанных оценок множеством значений функции t(x) является отрезок [0; 1]. Переформулируем задачу: требуется найти все такие значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы одно решение на отрезке 
Рассмотрим функцию 
и найдём множество её значений на этом отрезке. Для этого найдем производную, отметим на рисунке знаки производной и поведение функции:
Функция f(t) убывает 
на отрезке, будучи непрерывной на нем. Следовательно, она принимает все значения, лежащие между значениями на концах отрезка, и только их. Поскольку
множеством значений функция 
на отрезке является 
Следовательно, уравнение (⁎) имеет хотя бы одно решение на отрезке тогда и только тогда, когда выполняется условие 
Решим это двойное неравенство:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точек    и/или  | 3 |
Исследована функция  при  и задача сведена к решению двойного неравенства  ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 2 |
Задача сведена к исследованию функции при  и получено, что  | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |