Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 1 № 52061

Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 78°. Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.

Спрятать решение

Решение.

Треугольник АВС равнобедренный, так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны. Следовательно, угол ВAC равен 0,5(180° − 78°) = 51°. Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине заключенной между ними дуги, поэтому искомая дуга равна 2 · 51° = 102°.

 

Ответ: 102.

 

Приведем другое решение.

Пусть искомая длина меньшей дуги АВ равна х, тогда длина большей дуги АВ равна 360° − х. Угол между двумя касательными, проведенными из одной точки, равен половине высекаемых ими дуг, откуда имеем: 0,5(360° − 2x) = 78°. Тогда x = 102°.

 

Приведем ещё одно решение.

В четырёхугольнике АВСO углы А и В — прямые. Тогда сумма углов С и O равна 180°. Значит, угол O равен  180° − 78° = 102°. При этом он является центральным углом, который опирается на искомую дугу. Значит, искомая дуга равна 102°.