Тре­уголь­ник АВС рав­но­бед­рен­ный, так как от­рез­ки ка­са­тель­ных, про­ве­ден­ных к окруж­но­сти из одной точки, равны. Сле­до­ва­тель­но, угол ВAC равен 0,5(180° − 78°)  =  51°. Угол между ка­са­тель­ной и хор­дой, про­ве­ден­ной через точку ка­са­ния, равен по­ло­ви­не за­клю­чен­ной между ними дуги, по­это­му ис­ко­мая дуга равна 2 · 51°  =  102°.

Ответ: 102.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть ис­ко­мая длина мень­шей дуги АВ равна х, тогда длина боль­шей дуги АВ равна 360° − х. Угол между двумя ка­са­тель­ны­ми, про­ве­ден­ны­ми из одной точки, равен по­ло­ви­не вы­се­ка­е­мых ими дуг, от­ку­да имеем: 0,5(360° − 2x)  =  78°. Тогда x  =  102°.

При­ве­дем ещё одно ре­ше­ние.

Пусть O  — центр окруж­но­сти. В четырёхуголь­ни­ке АВСO углы А и В  — пря­мые. Тогда сумма углов С и O равна 180°. Зна­чит, угол O равен 180° − 78°  =  102°. При этом он яв­ля­ет­ся цен­траль­ным углом, ко­то­рый опи­ра­ет­ся на ис­ко­мую дугу. Зна­чит, ис­ко­мая дуга равна 102°.