СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 3 № 52113

 

Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.

 

Ре­ше­ние.

Это за­да­ние ещё не ре­ше­но, при­во­дим ре­ше­ние про­то­ти­па.


Ка­са­тель­ные CA и CB к окруж­но­сти об­ра­зу­ют угол ACB, рав­ный 122°. Най­ди­те ве­ли­чи­ну мень­шей дуги AB, стя­ги­ва­е­мой точ­ка­ми ка­са­ния. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Тре­уголь­ник АВС рав­но­бед­рен­ный, так как от­рез­ки ка­са­тель­ных, про­ве­ден­ных к окруж­но­сти из одной точки, равны. Сле­до­ва­тель­но, угол ВAC равен 0,5(180° − 122°) = 29°. Угол между ка­са­тель­ной и хор­дой, про­ве­ден­ной через точку ка­са­ния, равен по­ло­ви­не за­клю­чен­ной между ними дуги, по­это­му ис­ко­мая дуга равна 2 · 29° = 58°.

 

Ответ: 58.

 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть ис­ко­мая длина мень­шей дуги АВ равна х, тогда длина боль­шей дуги АВ равна 360° − х. Угол между двумя ка­са­тель­ны­ми, про­ве­ден­ны­ми из одной точки, равен по­ло­ви­не вы­се­ка­е­мых ими дуг, от­ку­да имеем: 0,5(360° − 2x) = 122°. Тогда x = 58°.

Прототип задания ·