№№ заданий Пояснения Ответы Ключ Добавить инструкцию Критерии
Источник Классификатор базовой части Классификатор планиметрии Классификатор стереометрии Методы алгебры Методы геометрии Раздел Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ Справка
PDF-версия PDF-версия (вертикальная) PDF-версия (крупный шрифт) PDF-версия (с большим полем) Версия для копирования в MS Word
Задания
Задание 19 № 517519

Каждый из 28 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 15. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно S.

а) Приведите пример, когда S < 15.

б) Могло ли значение S быть равным 5?

в) Какое наименьшее значение могло принимать S, если обе контрольные работы писали 10 студентов?

Решение.

а) Например, если 20 студентов писали обе контрольные работы и получили по 18 баллов за каждую, 4 студента писали только первую контрольную работу и получили по 0 баллов, 4 студента писали только вторую контрольную работу и получили по 0 баллов, то средний балл по каждой из контрольных работ в отдельности составил 15, а

б) Пусть а — сумма баллов тех студентов, которые писали только одну контрольную работу, b — сумма наибольших баллов тех студентов, которые писали обе контрольные работы, с — сумма наименьших баллов тех студентов, которые писали обе контрольные работы. Заметим, что средние баллы по каждой контрольной в отдельности равны 15, поэтому средний балл по обеим контрольным также равен 15. Всего было написано 28 + k контрольных работ. Значит, общее количество набранных студентами баллов равно Тогда получаем: откуда С другой стороны, откуда получаем Значит, такая ситуация невозможна.

в) Аналогично предыдущем пункту получаем: откуда

Приведём пример, когда Если (то есть 10 студентов писали обе контрольные работы и получили по 20 баллов за каждую), а (например, каждую контрольную работу писали по 9 студентов, из которых четверо получили по 10 баллов, а пятеро —по 9 баллов), то условия задачи выполнены и

 

Ответ: а) Например, если 20 студентов писали обе контрольные работы и получили по 18 баллов, а 4 студента писали только одну из двух контрольных работ и получили по 0 баллов; б) нет; в)