РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 17 № 517469 Добавить в вариант

Источники:

Задания 16 (С4) ЕГЭ 2017;

ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 402 (часть 2).

Классификатор планиметрии: Окружности и системы окружностей, Вписанный угол, опирающийся на диаметр, Окружности, Окружности и треугольники, Подобие

Планиметрическая задача. Окружности и системы окружностей

Две окружности с центром O₁ и O₂ пересекаются в точках A и B, причём точки O₁ и O₂ лежат по разные стороны от прямой AB. Продолжение диаметра CA первой окружности и хорды CB этой же окружности пересекает вторую окружность в точках D и E соответственно.

а)  Докажите, что треугольники CBD и O₁AO₂ подобны.

б)  Найти AD, если $\angle DAE=\angle BAC,$ радиус второй окружности в четыре раза больше радиуса первой и AB  =  2.

Решение. а)  Заметим, что $AB\bot O_1O_2,$ так как линия центров $O_1O_2$ содержит биссектрисы равнобедренных треугольников $AO_1B$ и $AO_2B.$

Тогда $\angle AO_1O_2= дробь: числитель: \angle AO_1B, знаменатель: 2 конец дроби =\angle ACB$ и $\angle AO_2O_1= дробь: числитель: \angle AO_2B, знаменатель: 2 конец дроби =\angle ADB.$ Значит, $\vartriangle CBD \sim \vartriangle O_1AO_2$ по двум углам.

б)  Из равенства углов $\angle AO_1O_2=\angle ACB,$ следует параллельность прямых: $CE || O_1O_2.$ Поэтому, учитывая, что $AB\bot O_1O_2,$ получаем: $AB\bot CE.$ Значит, $\angle ABE=90 градусов,$ а AE  — диаметр окружности.

Равнобедренные треугольники $AO_1B$ и $AO_2D$ подобны, поскольку

$\angle O_1BA=\angle O_1AB=\angle BAC=\angle DAE=\angle O_2AD=\angle O_2DA.$

Значит, $дробь: числитель: AD, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: AO_2, знаменатель: AO_1 конец дроби ,$ откуда $AD= дробь: числитель: AO_2, знаменатель: AO_1 конец дроби умножить на AB=8.$

Ответ: 8.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: 8.

517469

Источники:

Задания 16 (С4) ЕГЭ 2017;

ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 402 (часть 2).

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	517469	8.