Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Две окруж­но­сти с цен­тра­ми O1 и O2 пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B, при­чем точки O1 и O2 лежат по раз­ные сто­ро­ны от пря­мой AB. Про­дол­же­ние диа­мет­ра CA пер­вой окруж­но­сти и хорды CB этой же окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют вто­рую окруж­ность в точ­ках D и E со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки CBD и O1AO2 по­доб­ны.

б)  Най­ди­те AD, если угол DAE равен углу BAC, а ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти в че­ты­ре раза боль­ше ра­ди­у­са пер­вой и AB = 2.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  \angle AO_2O_1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle AO_2B=\angle ADB (по тео­ре­ме о впи­сан­ном угле для вто­рой окруж­но­сти). Ана­ло­гич­но \angle AO_1O_2= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle AO_1B=\angle ACB, по­это­му тре­уголь­ни­ки имеют две пары рав­ных углов, сле­до­ва­тель­но, по­доб­ны.

б)  Из ра­вен­ства углов \angle AO_1O_2=\angle ACB, сле­ду­ет па­рал­лель­ность пря­мых: CE || O_1O_2. По­это­му, учи­ты­вая, что AB\bot O_1O_2, по­лу­ча­ем: AB\bot CE. Зна­чит, \angle ABE=90 гра­ду­сов, а AE  — диа­метр окруж­но­сти.

Рав­но­бед­рен­ные тре­уголь­ни­ки AO_1B и AO_2D по­доб­ны, по­сколь­ку

\angle O_1BA=\angle O_1AB=\angle BAC=\angle DAE=\angle O_2AD=\angle O_2DA.

Зна­чит, дробь: чис­ли­тель: AD, зна­ме­на­тель: AB конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AO_2, зна­ме­на­тель: AO_1 конец дроби , от­ку­да AD= дробь: чис­ли­тель: AO_2, зна­ме­на­тель: AO_1 конец дроби умно­жить на AB=8.

 

Ответ: б) 8.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 517462: 517469 517531 517667 Все

Методы геометрии: Углы в окруж­но­стях {центр., впис., опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти и си­сте­мы окруж­но­стей, Впи­сан­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на диа­метр, Окруж­но­сти, Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки, По­до­бие
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025