PDF-версии: 
Окружность проходит через вершины A и B параллелограмма ABCD, пересекает стороны AD и BC в точках M и N соответственно и касается стороны CD.
а) Докажите, что точки C, D, M и N лежат на одной окружности.
б) Найдите длину отрезка AD, зная, что BM = a, MD = b, NC = c.
Решение. а) Четырехугольник ABNM вписан в окружность и его стороны AM и BN параллельны, следовательно, ABNM ― либо прямоугольник, либо равнобедренная трапеция, откуда MN = AB, но CD = AB, значит, и четырехугольник CDMN ― также прямоугольник или равнобедренная трапеция и, следовательно, около него можно описать окружность, что и требовалось доказать.
б) Положим AD = x. Так как DK ― касательная к данной окружности, а DA ― секущая, то 
Рассуждая аналогично, находим 
Тогда 
а значит, 
Пусть BH ― высота равнобедренной трапеции ABNM. Тогда:
откуда
Тогда 
и, таким образом, 
Ответ: 
Замечание. Учащиеся, знающие теорему Птолемея для вписанного четырехугольника, могли привести более короткое решение, сразу написав 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Замечание. Учащиеся, знающие теорему Птолемея для вписанного четырехугольника, могли привести более короткое решение, сразу написав
Замечание. Учащиеся, знающие теорему Птолемея для вписанного четырехугольника, могли привести более короткое решение, сразу написав