PDF-версии: 
Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
а) Является ли множество {100; 101; 102; ...; 199} хорошим?
б) Является ли множество {2; 4; 8; ...; 2200} хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {3; 4; 5; 6; 8; 10; 12}?
Решение. а) Разобьём множество {100, 101, 102, ..., 199} на два множества пятидесятиэлементных множества следующим образом:
{100, 199, 102, 197, 104, 195, ..., 148, 151},
{101; 198; 103; 196; 105, 194, ..., 149, 150}.
Сумма чисел в этих двух подмножествах одинакова, поэтому исходное множество является хорошим. (Возможны и другие примеры.)
б) Заметим, сумма чисел в подмножестве, которое будет содержать число 
будет больше суммы чисел в другом подмножестве, поскольку 
больше суммы всех остальных чисел:
Следовательно, множество {2; 4; 8; ...; 2200} не является хорошим.
Другое объяснение.
Одно из двух подмножеств, на которое мы хотим разбить исходное множество, будет содержать число 2. Тогда сумма чисел в этом подмножестве будет кратна 2, но не кратна 4, а сумма чисел во втором подмножестве будет кратна 4. Таким образом, суммы чисел в подмножествах не равны, и исходное множество не является хорошим.
Третье объяснение.
Полусумма всех чисел исходного множества нечетна, а все элементы четны, поэтому на два множества с нечетной суммой исходное множество не разбить.
в) Заметим, что четырёхэлементное множество является хорошим в двух случаях: либо одно число является суммой трёх других, либо множество содержит две пары чисел с равными суммами.
Единственное подмножество множества {3; 4; 5; 6; 8; 10; 12}, удовлетворяющее первому случаю, — это {3; 4; 5; 12}. Других вариантов нет, поскольку сумма трёх чисел, отличных от 3, 4 и 5, будет больше 12.
Рассмотрим второй случай и заметим, что если множество содержит две пары чисел с равными суммами, то сумма всех чисел чётна. Следовательно, нечетные числа 3 и 5 либо одновременно входят в хорошее четырёхэлементное подмножество, либо одновременно не входят в него.
Если 3 и 5 входят в подмножество, то либо сумма двух других чисел равна 8 (что невозможно), либо разность двух других чисел равна 2. Получаем хорошие подмножества:
{3; 4; 5; 6}; {3; 5; 6; 8}; {3; 5; 8; 10}; {3; 5; 10; 12}.
Если 3 и 5 не входят в подмножество, то хорошее подмножество лежит во множестве {4; 6; 8; 10; 12}. Получаем хорошие подмножества:
{4; 6; 8; 10}; {4; 6; 10; 12}; {6; 8; 10; 12}.
Всего найдено 8 хороших подмножеств: {3; 4; 5; 12}, {3; 4; 5; 6}; {3; 5; 6; 8}; {3; 5; 8; 10}; {3; 5; 10; 12}, {4; 6; 8; 10}; {4; 6; 10; 12}; {6; 8; 10; 12}. Других вариантов нет.
Ответ: а) да; б) нет; в) 8.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: ― обоснованное решение п. а; ― обоснованное решение п. б; ― в п. в доказано, что множество содержит не более восьми хороших четырёхэлементных подмножеств; ― в п. в построены примеры восьми хороших четырёхэлементных подмножеств. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |