Множество чисел назовем «значимым», если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
а) Является ли множество {400; 401; 402; ... ; 519} значимым?
б) Является ли множество {32; 33; 34; ... ; 3200} значимым?
в) Сколько значимых четырехэлементных подмножеств у множества {2; 3; 6; 5 ; 9; 13; 17}?
а) Да. Разобьём числа на 60 пар вида 400 + 519, 401 + 518, ..., а затем в каждое множество возьмем элементы 30 пар. Сумма в каждой паре одна и та же.
б) Нет. В этом множестве 199 нечетных чисел, поэтому сумма всех его элементов нечетна и не может быть разбита на две одинаковых целых суммы.
в) Четырехэлементное хорошее множество либо содержит две пары элементов с одинаковой суммой, либо содержит элемент, равный сумме остальных.
Перечислим суммы по 2 элемента:
2 + 3 = 5, 2 + 5 = 7, 2 + 6 = 8, 2 + 9 = 11, 2 + 13 = 15, 2 + 17 = 19;
3 + 5 = 8, 3 + 6 = 9, 3 + 9 = 12, 3 + 13 = 16, 3 + 17 = 20;
5 + 6 = 11, 5 + 9 = 14, 5 + 13 = 18, 5 + 17 = 22;
6 + 9 = 15, 6 + 13 = 19, 6 + 17 = 23;
9 + 13 = 22, 9 + 17 = 26, 13 + 17 = 30.
Совпадения сумм дают множества
{2, 3, 5, 6}, {2, 5, 6, 9}, {2, 6, 9, 13}, {2, 6, 13, 17}, {5, 9, 13, 17}.
Теперь выпишем суммы трех элементов, не превосходящие 17:
2 + 3 + 5 = 10,
2 + 3 + 6 = 11;
2 + 3 + 9 = 14,
2 + 5 + 6 = 13;
2 + 5 + 9 = 16,
2 + 6 + 9 = 17;
3 + 5 + 6 = 14,
3 + 5 + 9 = 17.
Среди них есть еще три подходящих набора. Итого таких множеств 8.
Ответ: а) Да; б) нет; в) 8.