Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 511345
i

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD про­ве­де­но се­че­ние через се­ре­ди­ны ребер АВ и ВС и вер­ши­ну S.

а)  До­ка­жи­те, что ука­зан­ное се­че­ние делит объем пи­ра­ми­ды в от­но­ше­нии 1 : 7.

б)  Най­ди­те пло­щадь этого се­че­ния, если все ребра пи­ра­ми­ды равны 4.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть M  — се­ре­ди­на AB, а N  — се­ре­ди­на BC. Плос­кость SMN делит пи­ра­ми­ду на пи­ра­ми­ды SBNM и SMADCN. У этих пи­ра­мид общая вы­со­та, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны S, по­это­му их объ­е­мы от­но­сят­ся как пло­ща­ди мно­го­уголь­ни­ков BNM и MADCN. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка BNM равна по­ло­ви­не от чет­вер­ти квад­ра­та ABCD, то есть S_BNM=1/8 умно­жить на S_ABCD, по­это­му V_SBNM:V_SMADCN=S_BNM:S_MADCN=1/8: левая круг­лая скоб­ка 1 минус 1/8 пра­вая круг­лая скоб­ка =1:7.

б)  Пло­щадь се­че­ния равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка SMN. Най­дем по­сле­до­ва­тель­но SM, MN и SN. От­рез­ки SM и SN  — ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ков SAB и SBC со­от­вет­ствен­но. Т. к. эти тре­уголь­ни­ки рав­но­сто­рон­ние (по­сколь­ку все ребра пи­ра­ми­ды оди­на­ко­вой длины),

SM=SN= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 4 = 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Най­дем те­перь MN из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка MBN. В нем ка­те­ты равны 2. Ги­по­те­ну­за MN, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, будет равна 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Те­перь най­дем пло­щадь рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка SMN. Для этого про­ве­дем вы­со­ту SH, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра рав­ную ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , и вы­чис­лим пло­щадь:

S= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на SH умно­жить на MN = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та .

Ответ: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 500639: 500643 507830 511345 ... Все

Классификатор стереометрии: Пло­щадь се­че­ния, Пра­виль­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да, Се­че­ние  — тре­уголь­ник, Се­че­ние, про­хо­дя­щее через три точки
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026