Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 500643
i

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD про­ве­де­но се­че­ние через M  — се­ре­ди­ну AB, N  — се­ре­ди­ну BC, и вер­ши­ну S.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые MN и SD пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, если бо­ко­вое ребро пи­ра­ми­ды равно 5, а сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 4.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Про­ек­ци­ей SD на плос­кость ABCD будет яв­лять­ся пря­мая BD. BD\perp AC как диа­го­на­ли квад­ра­та, а MN || AC, как сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC. Зна­чит, MN\perp BD и, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, MN\perp SD.

б)  Пло­щадь се­че­ния равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка SMN. Най­дем по­сле­до­ва­тель­но SM,SN и MN.SM и SN  — ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ков SAB и SBC со­от­вет­ствен­но. Так как эти тре­уголь­ни­ки рав­но­бед­рен­ные (по­сколь­ку пи­ра­ми­да пра­виль­ная),

SM=SN= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: SB в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AB пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: SB в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби BC пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 в квад­ра­те минус 2 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та .

Най­дем те­перь MN из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка MBN. В нем ка­те­ты равны 2. Ги­по­те­ну­за MN, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, будет равна 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Те­перь най­дем пло­щадь рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка SMN. Для этого про­ве­дем вы­со­ту SH, ко­то­рая, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, равна ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 19 конец ар­гу­мен­та , и вы­чис­лим пло­щадь:

S= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на SH умно­жить на MN = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 19 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 38 конец ар­гу­мен­та .

Ответ: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 38 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 500639: 500643 507830 511345 ... Все

Классификатор стереометрии: Де­ле­ние от­рез­ка, Пло­щадь се­че­ния, Пра­виль­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да, Се­че­ние  — тре­уголь­ник, Се­че­ние, про­хо­дя­щее через три точки
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Скрыть комментарии · Видеокурс · Помощь
Дима Григорошенко 16.12.2016 18:51

Мне ка­жет­ся что ошиб­ка в на­хож­де­нии SH.

Эта вы­со­та равна ко­рень из 21-8=ко­рень из 13

Кирилл Колокольцев

Ошиб­ки нет. SH= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: SM в квад­ра­те минус MH в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 минус 2 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 19 конец ар­гу­мен­та .



О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026