PDF-версии: 
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины ребер АВ и ВС и вершину S.
а) Докажите, что указанное сечение делит объем пирамиды в отношении 1 : 7.
б) Найдите площадь этого сечения, если все ребра пирамиды равны 4.
Решение. а) Пусть M — середина AB, а N — середина BC. Плоскость SMN делит пирамиду на пирамиды SBNM и SMADCN. У этих пирамид общая высота, проведенная из вершины S, поэтому их объемы относятся как площади многоугольников BNM и MADCN. Площадь треугольника BNM равна половине от четверти квадрата ABCD, то есть
поэтому 
б) Площадь сечения равна площади треугольника SMN. Найдем последовательно SM, MN и SN. Отрезки SM и SN — медианы треугольников SAB и SBC соответственно. Т. к. эти треугольники равносторонние (поскольку все ребра пирамиды одинаковой длины),
Найдем теперь MN из прямоугольного треугольника MBN. В нем катеты равны 2. Гипотенуза MN, по теореме Пифагора, будет равна 
Теперь найдем площадь равнобедренного треугольника SMN. Для этого проведем высоту SH, по теореме Пифагора равную 
и вычислим площадь:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |