В треугольной пирамиде MABC с основанием ABC ребро MA перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 3, а ребро MB равно 5. На ребре AC находится точка D, на ребре AB точка E, а на ребре AM — точка L. Известно, что AD = 2 и BE = ML = 1.
а) Докажите, что LDE — равнобедренный треугольник.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.
а) Сечение — треугольник LDE (см. рис.), найдём его стороны.
Поскольку стороны основания равны, треугольник ABC — равносторонний, следовательно, 
Поскольку кроме этого 
треугольник AED — равносторонний, поэтому 
Треугольник ABM прямоугольный, по теореме Пифагора:
тогда 
Треугольник ALE прямоугольный, по теореме Пифагора:
Треугольники ALE и ALD прямоугольные, AL — их общий катет, 
Следовательно, эти треугольники равны, поэтому равны их гипотенузы: 
Следовательно, треугольник LDE — равнобедренный.
б) Проведём в равнобедренном треугольнике LDE высоту LH, она является медианой, поэтому из треугольника LEH находим:
Тем самым, треугольник LDE — искомое сечение, найдём его площадь:
Ответ: 