В треугольной пирамиде MABC основанием является правильный треугольник ABC, ребро MB перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 3, а ребро MA = 6. На ребре AC находится точка D, на ребре AB — точка E, а на ребре AM — точка L. Известно, что AD = AL = 2, и BE = 1.
а) Докажите, что ADE — равносторонний треугольник.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.
а) Рассмотрим треугольники AMB и CMB, они прямоугольные, имеют общую сторону MB и равные стороны AB и BC, следовательно, эти треугольники равны по двум катетам, значит,
Рассмотрим треугольник AMC, воспользовавшись теоремой косинусов найдём косинус угла 
Из треугольника ADL найдём сторону LD:
Рассмотрим прямоугольный треугольник 
Найдём косинус угла 
Из треугольника ALE найдём сторону LE:
В треугольнике ADE 
следовательно, он равнобедренный, углы при основании равны. Угол CAB равен 60°, значит, 
Следовательно, треугольник ADE равносторонний, 
б) Опустим высоту EH в равнобедренном треугольнике LDE на основание 
Найдём EH:
Треугольник DLE — искомое сечение, найдём его площадь:
Ответ: 
Примечание.
Площадь треугольника DLE можно было найти по формуле Герона:
