РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 16 № 506950 Добавить в вариант

Источники:

Финансовая математика. Вклады

В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после начисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?

Решение. Общая сумма, причитающаяся вкладчику, включая дополнительные вклады в течение четырех лет и все процентные начисления, к концу пятого года хранения денег составляет 825 (100 + 725) процентов от первоначального (3900 тыс. руб.). Эта сумма равна:

$3900 умножить на 8,25=39 умножить на 825=3 умножить на 13 умножить на 3 умножить на 5 умножить на 5 умножить на 11=3 в квадрате умножить на 5 в квадрате умножить на 11 умножить на 13$ (тыс. руб.)

Некоторая часть найденной суммы образована хранением первоначально вложенной суммы (3900 тыс. руб.) Вычислим эту часть. Поскольку процентная надбавка начислялась в размере 50% годовых, то за 5 лет хранения этой части вклада вложенная сумма увеличилась в $1,5 в степени 5 = дробь: числитель: 3 в степени 5 , знаменатель: 2 в степени 5 конец дроби$ раза. То есть стала:

$дробь: числитель: 3900 умножить на 3 в степени 5 , знаменатель: 2 в степени 5 конец дроби = дробь: числитель: 3 умножить на 13 умножить на 2 в квадрате умножить на 5 в квадрате умножить на 3 в степени 5 , знаменатель: 2 в степени 5 конец дроби = дробь: числитель: 3 в степени 6 умножить на 5 в квадрате умножить на 13, знаменатель: 2 в кубе конец дроби$ (тыс. руб.)

Теперь найдем другую часть образованной суммы с учетом дополнительных вкладов в течение четырех лет, а также процентных начислений на эту сумму. Эта часть равна разности двух сумм, вычисленных выше.

$3 в квадрате умножить на 5 в квадрате умножить на 11 умножить на 13 минус дробь: числитель: 3 в степени 6 умножить на 5 в квадрате умножить на 13, знаменатель: 2 в кубе конец дроби = дробь: числитель: 2 в кубе умножить на 3 в квадрате умножить на 5 в квадрате умножить на 11 умножить на 13 минус 3 в степени 6 умножить на 5 в квадрате умножить на 13, знаменатель: 2 в кубе конец дроби = дробь: числитель: 3 в квадрате умножить на 5 в квадрате умножить на 13 умножить на левая круглая скобка 2 в кубе умножить на 11 минус 3 в степени 4 правая круглая скобка , знаменатель: 2 в кубе конец дроби =$ $3 в квадрате умножить на 5 в квадрате умножить на 11 умножить на 13 минус дробь: числитель: 3 в степени 6 умножить на 5 в квадрате умножить на 13, знаменатель: 2 в кубе конец дроби = дробь: числитель: 2 в кубе умножить на 3 в квадрате умножить на 5 в квадрате умножить на 11 умножить на 13 минус 3 в степени 6 умножить на 5 в квадрате умножить на 13, знаменатель: 2 в кубе конец дроби =$
$= дробь: числитель: 3 в квадрате умножить на 5 в квадрате умножить на 13 умножить на левая круглая скобка 2 в кубе умножить на 11 минус 3 в степени 4 правая круглая скобка , знаменатель: 2 в кубе конец дроби =$ $3 в квадрате умножить на 5 в квадрате умножить на 11 умножить на 13 минус дробь: числитель: 3 в степени 6 умножить на 5 в квадрате умножить на 13, знаменатель: 2 в кубе конец дроби =$
$= дробь: числитель: 2 в кубе умножить на 3 в квадрате умножить на 5 в квадрате умножить на 11 умножить на 13 минус 3 в степени 6 умножить на 5 в квадрате умножить на 13, знаменатель: 2 в кубе конец дроби =$
$= дробь: числитель: 3 в квадрате умножить на 5 в квадрате умножить на 13 умножить на левая круглая скобка 2 в кубе умножить на 11 минус 3 в степени 4 правая круглая скобка , знаменатель: 2 в кубе конец дроби =$

$= дробь: числитель: 3 в квадрате умножить на 5 в квадрате умножить на 13 умножить на левая круглая скобка 88 минус 81 правая круглая скобка , знаменатель: 2 в кубе конец дроби = дробь: числитель: 3 в квадрате умножить на 5 в квадрате умножить на 7 умножить на 13, знаменатель: 2 в кубе конец дроби$ (тыс. руб.)

Это  — с одной стороны. С другой же стороны, эта сумма образовалась так:

Пусть вкладчик в конце года и еще три раза в следующие годы вносил дополнительный вклад в сумме x тыс. руб.

В конце первого года хранения этой суммы (к концу второго года от открытия вклада) она выросла до $дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x$ тыс. руб.

Вкладчик дополнительно внес еще x тыс. руб. На начало следующего календарного года эта часть суммы стала:

$дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x плюс x= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби x$ (тыс.руб.)

Через год эта сумма выросла до:

$дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби x умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби x$ (тыс.руб.)

Но вкладчик внес на счет еще x тыс.руб. Сумма стала:

$дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби x плюс x= дробь: числитель: 19, знаменатель: 4 конец дроби x$ (тыс. руб.)

Через год эта сумма выросла до:

$дробь: числитель: 19, знаменатель: 4 конец дроби x умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 57, знаменатель: 8 конец дроби x$ (тыс. руб.)

Вкладчик вновь внес на счет x тыс. руб. Часть вклада становится равной:

$дробь: числитель: 57, знаменатель: 8 конец дроби x плюс x= дробь: числитель: 65, знаменатель: 8 конец дроби x$ (тыс.руб.)

К концу последнего года хранения всего вклада эта часть вырастает до:

$дробь: числитель: 65, знаменатель: 8 конец дроби x умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 3 умножить на 5 умножить на 13, знаменатель: 2 в степени 4 конец дроби x$ (тыс. руб.)

Теперь решим уравнение:

$дробь: числитель: 3 умножить на 5 умножить на 13, знаменатель: 2 в степени 4 конец дроби умножить на x= дробь: числитель: 3 в квадрате умножить на 5 в квадрате умножить на 7 умножить на 13, знаменатель: 2 в кубе конец дроби равносильно x= дробь: числитель: 3 в квадрате умножить на 5 в квадрате умножить на 7 умножить на 13 умножить на 2 в степени 4 , знаменатель: 2 в кубе умножить на 3 умножить на 5 умножить на 13 конец дроби равносильно x=3 умножить на 5 умножить на 7 умножить на 2 равносильно x=210.$ $дробь: числитель: 3 умножить на 5 умножить на 13, знаменатель: 2 в степени 4 конец дроби умножить на x= дробь: числитель: 3 в квадрате умножить на 5 в квадрате умножить на 7 умножить на 13, знаменатель: 2 в кубе конец дроби равносильно x= дробь: числитель: 3 в квадрате умножить на 5 в квадрате умножить на 7 умножить на 13 умножить на 2 в степени 4 , знаменатель: 2 в кубе умножить на 3 умножить на 5 умножить на 13 конец дроби равносильно$
$равносильно x=3 умножить на 5 умножить на 7 умножить на 2 равносильно x=210.$

Итак, искомая сумма равна 210 тыс. руб.

Ответ: 210 тыс. руб.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Ответ: 210 тыс. руб.

506950

210 тыс. руб.

Источники:

А. Ларин: Тренировочный вариант № 83;

А. Ларин: Тренировочный вариант № 86.

Классификатор алгебры: Задачи о вкладах

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	506950	210 тыс. руб.